Aletas de 3,0 \mathrm{~mm} de espessura, 20 mm de altura e 1,0 \mathrm{~m} de comprimento são soldadas a uma placa plana de 1,0 \mathrm{~m} \times 1,0 \mathrm{~m}. As aletas e a placa são feitos de aço-carbono ( \mathrm{k}=56,7 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ), e a superfície não aletada está a uma temperatura de 180^{\circ} \mathrm{C}, estando o conjunto em contato com o ar a 20^{\circ} \mathrm{C} e coeficiente de película de 20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. 0 espaço entre as aletas é de 7,0 \mathrm{~mm}. Determine a troca de calor do sistema com aletas, sem aletas e sua efetividade.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule: (a) a troca de calor do sistema com aletas, (b) a troca de calor sem aletas (placa lisa) e (c) a efetividade (relação entre as duas).
Informações dadas (extraídas do enunciado):
\; - espessura da aleta: t=3{,}0\\ \mathrm{mm}=0{,}003\\ \mathrm{m}
\; - altura da aleta (desde a placa até a ponta): H=20\\ \mathrm{mm}=0{,}02\\ \mathrm{m}
\; - comprimento da aleta (no sentido paralelo à placa): L=1{,}0\\ \mathrm{m}
\; - placa: 1{,}0\\ \mathrm{m}\times 1{,}0\\ \mathrm{m} (área da face considerada A_{\text{placa}}=1{,}0\\ \mathrm{m}^2)
\; - material: aço-carbono, condutividade térmica k=56{,}7\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}
\; - temperatura da superfície não aletada (base): T_b=180^\circ\mathrm{C}
\; - temperatura do ar: T_\infty=20^\circ\mathrm{C}
\; - coeficiente de convecção: h=20\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}
\; - espaço entre as aletas (distância ar entre faces das aletas): s=7{,}0\\ \mathrm{mm}=0{,}007\\ \mathrm{m}
Observação de modelagem (assunção necessária): as aletas são paralelas cobrindo uma face da placa ao longo de 1{,}0\\ \mathrm{m}; a distribuição é regular com passo (pitch) p=t+s. Não foi dito que há aletas em ambas as faces, então vou considerar aletas apenas em uma face da placa. A solução segue dessa configuração.

Passo 2

Contagem de aletas e áreas expostas (passo geométrico, muito importante para somar as contribuições):
Defino o passo (pitch) entre centros como p=t+s. Cada “célula” de largura p contém uma aleta de espessura t e um espaço livre s. Assim o número de células ao longo de 1{,}0\\ \mathrm{m} é
N=\frac{1{,}0}{p}=\frac{1{,}0}{t+s}.
Calcule:
p=0{,}003+0{,}007=0{,}010\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad N=\frac{1{,}0}{0{,}010}=100.
Área de cada aleta (superfície exposta à convecção, por aleta): as faces laterais (duas) mais a ponta:
A_{\text{aleta,ind}} = 2\cdot L\cdot H + t\cdot L = 2(1{,}0)(0{,}02)+0{,}003(1{,}0)=0{,}04+0{,}003=0{,}043\\ \mathrm{m}^2.
Área total das aletas:
A_{\text{aletas,total}}=N\cdot A_{\text{aleta,ind}}=100\cdot 0{,}043=4{,}3\\ \mathrm{m}^2.
Área da placa exposta entre aletas (superfície da placa que ainda recebe convecção, por cima, entre as aletas):
cada célula tem área exposta L\cdot s = 1{,}0\cdot 0{,}007=0{,}007\\ \mathrm{m}^2. Total:
A_{\text{placa,entre}}=N\cdot L\cdot s=100\cdot 0{,}007=0{,}7\\ \mathrm{m}^2.
Nota: a área da placa coberta pela base das aletas é 1{,}0-0{,}7=0{,}3\\ \mathrm{m}^2 e não contribui diretamente para convecção (está ocupada pela base das aletas).
Diferença de temperatura útil:
\Delta T = T_b - T_\infty = 180-20=160\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Conceito e fórmula para o parâmetro da aleta m e por que usamos:
Para uma aleta de seção constante (retangular) e comprimento no sentido da convecção muito maior que a espessura, o problema 1D ao longo da altura da aleta leva ao parâmetro
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}},
onde P é o perímetro molhado por unidade de comprimento (por \,1\\ \mathrm{m} no sentido do comprimento L) e A_c é a área de seção transversal por unidade de comprimento. No nosso caso, por unidade de comprimento L=1\\ \mathrm{m} temos P=2 (duas faces de largura 1\\ \mathrm{m}) e A_c=t (espessura vezes 1 m), então
m=\sqrt{\frac{2h}{k\,t}}.
Este m tem unidade \mathrm{m}^{-1} e aparece na solução da equação diferencial da temperatura na aleta.
Calcule m:
m=\sqrt{\frac{2\cdot 20}{56{,}7\cdot 0{,}003}}=\sqrt{\frac{40}{0{,}1701}}\approx\sqrt{235{,}14}\approx 15{,}33\\ \mathrm{m}^{-1}.
Produto adimensional mL (onde aqui L é a altura da aleta H):
mL = mH = 15{,}33\cdot 0{,}02 \approx 0{,}3067.

Passo 4

Fórmula da eficiência da aleta e justificativa:
A eficiência de uma aleta de seção constante, comprimento finito e ponta relativamente pequena é, em primeira aproximação, dada por
\eta_{\text{aleta}}=\frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL},
que indica a razão entre o calor efetivamente removido pela aleta e o calor que seria removido se toda a área da aleta estivesse à temperatura da base T_b. É uma fórmula padrão obtida da solução da ODE da temperatura na aleta. Para mL pequeno, a eficiência é próxima de 1 (a aleta quase toda está quente).
Calcule:
\operatorname{tanh}(0{,}3067)\approx 0{,}2974\quad\Rightarrow\quad \eta_{\text{aleta}}=\frac{0{,}2974}{0{,}3067}\approx 0{,}970.
Portanto a aleta é bastante eficiente (~97,0%).

Passo 5

Calcular o calor removido por todas as aletas:
A transferência de calor de cada aleta pode ser obtida como
q_{\text{aleta,ind}}=\eta_{\text{aleta}}\;h\;A_{\text{aleta,ind}}\;\Delta T.
Logo para todas as aletas:
Q_{\text{aletas}}=N\;\eta_{\text{aleta}}\;h\;A_{\text{aleta,ind}}\;\Delta T =\eta_{\text{aleta}}\;h\;A_{\text{aletas,total}}\;\Delta T.
Substituindo:
Q_{\text{aletas}}=0{,}970\cdot 20\cdot 4{,}3\cdot 160.
Calcule passo a passo: 20\cdot 4{,}3=86; 86\cdot 160=13\,760; multiplicando pela eficiência,
Q_{\text{aletas}}\approx 0{,}970\cdot 13\,760 \approx 13\,345\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Calcular o calor convectado pela área da placa exposta entre as aletas:
A área exposta entre aletas já calculada é A_{\text{placa,entre}}=0{,}7\\ \mathrm{m}^2. Se essa porção da placa estiver à temperatura T_b, o calor dessa área é simplesmente:
Q_{\text{placa,entre}}=h\;A_{\text{placa,entre}}\;\Delta T = 20\cdot 0{,}7\cdot 160.
Calcule:
Q_{\text{placa,entre}}=20\cdot 112 = 2\,240\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Somar as contribuições para obter a troca total com aletas e a troca sem aletas; calcular a efetividade:
Total com aletas:
Q_{\text{com aletas}} = Q_{\text{aletas}} + Q_{\text{placa,entre}} \approx 13\,345 + 2\,240 = 15\,585\\ \mathrm{W}.
Sem aletas (placa lisa, área A_{\text{placa}}=1{,}0\\ \mathrm{m}^2): a transferência convectiva é
Q_{\text{sem aletas}} = h\;A_{\text{placa}}\;\Delta T = 20\cdot 1{,}0\cdot 160 = 3\,200\\ \mathrm{W}.
Efetividade do sistema com aletas (razão entre com e sem):
\varepsilon = \frac{Q_{\text{com aletas}}}{Q_{\text{sem aletas}}} = \frac{15\,585}{3\,200}\approx 4{,}87.
Interpretação curta: com essas aletas estreitas e altas a convecção total aumenta em quase um fator 4{,}9 comparado à placa lisa da mesma área.

Resposta

Q_{\text{com aletas}}=15\,585\\ \mathrm{W}
Q_{\text{sem aletas}}=3\,200\\ \mathrm{W}
\varepsilon=\dfrac{Q_{\text{com aletas}}}{Q_{\text{sem aletas}}}=4{,}87

Exercícios relacionados