Aletas de
de espessura, 20 mm de altura e
de comprimento são soldadas a uma placa plana de
. As aletas e a placa são feitos de aço-carbono (
), e a superfície não aletada está a uma temperatura de
, estando o conjunto em contato com o ar a
e coeficiente de película de
. 0 espaço entre as aletas é de
. Determine a troca de calor do sistema com aletas, sem aletas e sua efetividade.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule: (a) a troca de calor do sistema com aletas, (b) a troca de calor sem aletas (placa lisa) e (c) a efetividade (relação entre as duas).
Informações dadas (extraídas do enunciado):
- espessura da aleta:
- altura da aleta (desde a placa até a ponta):
- comprimento da aleta (no sentido paralelo à placa):
- placa:
(área da face considerada
)
- material: aço-carbono, condutividade térmica
- temperatura da superfície não aletada (base):
- temperatura do ar:
- coeficiente de convecção:
- espaço entre as aletas (distância ar entre faces das aletas):
Informações dadas (extraídas do enunciado):
Observação de modelagem (assunção necessária): as aletas são paralelas cobrindo uma face da placa ao longo de
; a distribuição é regular com passo (pitch)
. Não foi dito que há aletas em ambas as faces, então vou considerar aletas apenas em uma face da placa. A solução segue dessa configuração.
Passo 2
Contagem de aletas e áreas expostas (passo geométrico, muito importante para somar as contribuições):
Defino o passo (pitch) entre centros como . Cada “célula” de largura
contém uma aleta de espessura
e um espaço livre
. Assim o número de células ao longo de
é
Defino o passo (pitch) entre centros como
Calcule:
Área de cada aleta (superfície exposta à convecção, por aleta): as faces laterais (duas) mais a ponta:
Área total das aletas:
Área da placa exposta entre aletas (superfície da placa que ainda recebe convecção, por cima, entre as aletas):
cada célula tem área exposta . Total:
cada célula tem área exposta
Nota: a área da placa coberta pela base das aletas é
e não contribui diretamente para convecção (está ocupada pela base das aletas).
Diferença de temperatura útil:
Passo 3
Conceito e fórmula para o parâmetro da aleta
e por que usamos:
Para uma aleta de seção constante (retangular) e comprimento no sentido da convecção muito maior que a espessura, o problema 1D ao longo da altura da aleta leva ao parâmetro
Para uma aleta de seção constante (retangular) e comprimento no sentido da convecção muito maior que a espessura, o problema 1D ao longo da altura da aleta leva ao parâmetro
onde
é o perímetro molhado por unidade de comprimento (por
no sentido do comprimento
) e
é a área de seção transversal por unidade de comprimento. No nosso caso, por unidade de comprimento
temos
(duas faces de largura
) e
(espessura vezes 1 m), então
Este
tem unidade
e aparece na solução da equação diferencial da temperatura na aleta.
Calcule
:
Produto adimensional
(onde aqui
é a altura da aleta
):
Passo 4
Fórmula da eficiência da aleta e justificativa:
A eficiência de uma aleta de seção constante, comprimento finito e ponta relativamente pequena é, em primeira aproximação, dada por
A eficiência de uma aleta de seção constante, comprimento finito e ponta relativamente pequena é, em primeira aproximação, dada por
que indica a razão entre o calor efetivamente removido pela aleta e o calor que seria removido se toda a área da aleta estivesse à temperatura da base
. É uma fórmula padrão obtida da solução da ODE da temperatura na aleta. Para
pequeno, a eficiência é próxima de 1 (a aleta quase toda está quente).
Calcule:
Portanto a aleta é bastante eficiente (~97,0%).
Passo 5
Calcular o calor removido por todas as aletas:
A transferência de calor de cada aleta pode ser obtida como
A transferência de calor de cada aleta pode ser obtida como
Logo para todas as aletas:
Substituindo:
Calcule passo a passo:
;
; multiplicando pela eficiência,
Passo 6
Calcular o calor convectado pela área da placa exposta entre as aletas:
A área exposta entre aletas já calculada é . Se essa porção da placa estiver à temperatura
, o calor dessa área é simplesmente:
A área exposta entre aletas já calculada é
Calcule:
Passo 7
Somar as contribuições para obter a troca total com aletas e a troca sem aletas; calcular a efetividade:
Total com aletas:
Total com aletas:
Sem aletas (placa lisa, área
): a transferência convectiva é
Efetividade do sistema com aletas (razão entre com e sem):
Interpretação curta: com essas aletas estreitas e altas a convecção total aumenta em quase um fator
comparado à placa lisa da mesma área.