( 2,0 ) Resolva o PVI:
\left\{\begin{array}{l}(\cos (x)+1) d x+\left(\frac{x+\operatorname{sen}(x)}{y}-2\right) d y=0 \\\ y(\pi)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
(\cos(x)+1)\,dx+\left(\frac{x+\operatorname{sen}(x)}{y}-2\right)\,dy=0,
com a condição inicial \;y(\pi)=1.
Informações relevantes:
M(x,y)=\cos(x)+1, \qquad N(x,y)=\frac{x+\operatorname{sen}(x)}{y}-2.
O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial \;y(\pi)=1.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata. Para isso calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=0, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{1+\cos(x)}{y}.
Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x}, a equação não é exata na forma dada.
Agora procuramos um fator integrante dependente só de y. A condição para existir um fator integrante \mu(y) é que
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}
seja função apenas de y. Calculamos:
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} =\frac{\frac{1+\cos(x)}{y}-0}{\cos(x)+1}=\frac{1}{y},
que depende apenas de y. Logo existe \mu(y).
Para obter \mu(y) usamos
\frac{d\ln\mu}{dy}=\frac{1}{y}.
Integrando:
\ln\mu=\ln y + C \quad\Rightarrow\quad \mu(y)=Cy.
Podemos escolher \mu(y)=y (constante multiplicativa irrelevante).

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(y)=y obtemos a equação equivalente
y(\cos x+1)\,dx+\big(x+\operatorname{sen} x-2y\big)\,dy=0.
Definimos agora
\tilde M(x,y)=y(1+\cos x), \qquad \tilde N(x,y)=x+\operatorname{sen} x-2y.
Verificamos a exatidão:
\frac{\partial\tilde M}{\partial y}=1+\cos x, \qquad \frac{\partial\tilde N}{\partial x}=1+\cos x,
portanto \frac{\partial\tilde M}{\partial y}=\frac{\partial\tilde N}{\partial x} e a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial\Phi}{\partial x}=\tilde M(x,y)=y(1+\cos x).
Integramos essa expressão em relação a x (tratando y como constante):
\Phi(x,y)=y\int(1+\cos x)\,dx = y\big(x+\operatorname{sen} x\big)+h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y.
Agora impomos que \partial\Phi/\partial y=\tilde N(x,y):
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=x+\operatorname{sen} x + h'(y) = x+\operatorname{sen} x-2y.
Assim
h'(y)=-2y \quad\Rightarrow\quad h(y)=-y^2 + C.
Portanto a função potencial (até constante) é
\Phi(x,y)=y\big(x+\operatorname{sen} x\big)-y^2.

Passo 5

A solução geral implícita da equação exata é
\Phi(x,y)=\text{const},
isto é
y\big(x+\operatorname{sen} x\big)-y^2 = C.
Usamos a condição inicial \;y(\pi)=1. Como \operatorname{sen}\pi=0,
1\cdot(\pi+0)-1^2 = \pi-1 = C.
Logo a solução implícita que satisfaz o PVI é
y\big(x+\operatorname{sen} x\big)-y^2=\pi-1.

Passo 6

Podemos escrever explicitamente como uma equação quadrática em y:
-y^2 + y(x+\operatorname{sen} x) -(\pi-1)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad y^2 - y(x+\operatorname{sen} x) + (\pi-1)=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
y(x)=\frac{(x+\operatorname{sen} x)\pm\sqrt{(x+\operatorname{sen} x)^2-4(\pi-1)}}{2}.
Para determinar o sinal escolhemos a condição inicial. Em x=\pi temos x+\operatorname{sen} x=\pi e o discriminante
\pi^2-4(\pi-1)=(\pi-2)^2,
então as duas raízes em x=\pi são
y(\pi)=\frac{\pi\pm(\pi-2)}{2}.
Isso dá y(\pi)=\pi-1 (com o sinal +) ou y(\pi)=1 (com o sinal -). Como queremos y(\pi)=1, devemos escolher o sinal menor (o sinal - na fórmula).
Portanto a solução explícita que satisfaz o PVI é
y(x)=\frac{(x+\operatorname{sen} x)-\sqrt{(x+\operatorname{sen} x)^2-4(\pi-1)}}{2},
valendo para os x onde o discriminante é não-negativo.

Resposta

y(x)=\frac{(x+\operatorname{sen} x)-\sqrt{(x+\operatorname{sen} x)^2-4(\pi-1)}}{2}

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