( 2,0 ) Resolva o PVI:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
com a condição inicial
.
Informações relevantes:
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial
.
Passo 2
Verificamos se a equação é exata. Para isso calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata na forma dada.
Agora procuramos um fator integrante dependente só de
. A condição para existir um fator integrante
é que
seja função apenas de
. Calculamos:
que depende apenas de
. Logo existe
.
Para obter
usamos
Integrando:
Podemos escolher
(constante multiplicativa irrelevante).
Passo 3
Multiplicando a equação original por
obtemos a equação equivalente
Definimos agora
Verificamos a exatidão:
portanto
e a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos essa expressão em relação a
(tratando
como constante):
onde
é função arbitrária de
.
Agora impomos que
:
Assim
Portanto a função potencial (até constante) é
Passo 5
A solução geral implícita da equação exata é
isto é
Usamos a condição inicial
. Como
,
Logo a solução implícita que satisfaz o PVI é
Passo 6
Podemos escrever explicitamente como uma equação quadrática em
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Para determinar o sinal escolhemos a condição inicial. Em
temos
e o discriminante
então as duas raízes em
são
Isso dá
(com o sinal
) ou
(com o sinal
). Como queremos
, devemos escolher o sinal menor (o sinal
na fórmula).
Portanto a solução explícita que satisfaz o PVI é
valendo para os
onde o discriminante é não-negativo.