3- (2, 0) Determine a família de curvas que é ortogonal à família y^{2}=c e^{-2 x}.
(13)
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas
y^{2}=c e^{-2x}
com c parâmetro (constante arbitrária), e pede: determinar a família de curvas que é ortogonal a essa família dada.
Informações relevantes: a família dada é descrita pela equação acima para cada valor de c. Queremos a família de trajetórias ortogonais (cada curva da nova família deve cruzar ortogonalmente cada curva da família dada nos pontos de interseção).
Passo 2
Vamos eliminar o parâmetro c para obter a equação diferencial que toda curva da família dada satisfaz. Para isso, observo que da equação y^{2}=c e^{-2x} podemos isolar c:
c = y^{2} e^{2x}.
Mas não precisamos realmente da forma explícita de c; uma forma mais direta é diferenciar implicitamente a equação original em relação a x. Faço isso agora: diferencio ambos os lados de y^{2}=c e^{-2x} em relação a x. Do lado esquerdo uso a regra da cadeia: a derivada de y^{2} é 2y\,\dfrac{dy}{dx}. Do lado direito c é constante (para cada curva fixa), então a derivada de c e^{-2x} é c vezes a derivada de e^{-2x}, que é -2 e^{-2x}. Assim:
2y\,\frac{dy}{dx} = -2c e^{-2x}.
Passo 3
Agora uso a equação original para substituir c e^{-2x} por y^{2} no resultado da diferenciação — isso elimina o parâmetro c:
2y\,\frac{dy}{dx} = -2y^{2}.
Divido ambos os lados por 2y. Aqui devo comentar: dividir por y é legítimo para as curvas não-identicamente nulas; a curva y\equiv0 corresponde a c=0 e será tratada naturalmente pela equação que obtivermos (veja observação depois). Após dividir obtemos a equação diferencial simples
\frac{dy}{dx} = -y.
Explicando: \dfrac{dy}{dx} é a inclinação (coeficiente angular) da curva dada num ponto (x,y); essa relação diz que, para a família original, a inclinação é igual a -y.
Passo 4
Definição e regra para ortogonalidade: se duas curvas têm inclinações m_{1} e m_{2} num ponto de interseção, elas são ortogonais se e somente se
m_{1}\cdot m_{2}=-1.
Portanto, se a família original tem inclinação \dfrac{dy}{dx}=-y, a família ortogonal terá inclinação dada por
que coincide com a equação usada. No ponto de interseção entre uma curva original (com mesma coordenada y) e uma curva ortogonal, os coeficientes angulares são -y e 1/y; o produto é -1, então são realmente ortogonais. A curva especial y\equiv 0 (caso c=0 da família dada) é contemplada: ao cruzar com uma curva ortogonal y^{2}=2x+K a interseção ocorre em um ponto onde y=0 e aí a curva ortogonal tem tangente vertical (o termo \dfrac{1}{y} tende a infinito), ou seja, ortogonalidade horizontal-vertical é preservada.