Dada a função
e o ponto de coordenadas
.
(a) usando a definição
.
(b) usando a definição
.
(a) usando a definição
(b) usando a definição
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. Pede para calcular a inclinação da reta tangente (o coeficiente angular
) no ponto
usando duas definições de derivada:
(a) a definição pelo quociente de diferença quando :
.
(b) a definição pelo incremento :
.
Informações relevantes fornecidas: a função é e o ponto tem
. Observação imediata que vou usar:
.
Agora vamos calcular passo a passo cada limite pedido.
(a) a definição pelo quociente de diferença quando
(b) a definição pelo incremento
Informações relevantes fornecidas: a função é
Agora vamos calcular passo a passo cada limite pedido.
Passo 2
Explicando a ideia antes de calcular (curta e prática). A derivada de
em
é o limite do quociente de diferença, que mede a “variação média” de
dividida pela variação de
quando a variação de
tende a zero. Nas duas definições o objetivo é o mesmo; apenas a variável que tende a zero muda: na (a) usamos
, na (b) usamos
com
. Em prova você pode usar qualquer uma; aqui faremos as duas porque o enunciado pediu.
Passo 3
Resolver (a) usando
com
. Substituímos
e
. Escrevendo o quociente:
Passo 4
Agora factorizar o numerador para poder simplificar o fator
. Observe que
Então o quociente fica
Passo 5
Note a relação entre
e
:
. Portanto podemos simplificar:
válido para todo
. Como o limite considera
aproximando-se de
(mas não necessariamente igual a
), essa simplificação é permitida para avaliar o limite.
Passo 6
Agora calcule o limite direto substituindo
na expressão simplificada:
Logo, pela definição (a), a inclinação é
.
Passo 7
Resolver (b) usando
com
. Primeiro calcule
. Temos
Expandindo
pela fórmula do cubo:
Passo 8
Substituindo na diferença
(lembre que
):
Passo 9
Divida por
(assumindo
, o que é suficiente para avaliar o limite):
Passo 10
Agora tome o limite quando
:
Portanto, pela definição (b), a inclinação também é
.
Passo 11
Comentário didático final (curtinho e útil). Você viu duas técnicas que normalmente aparecem em prova: (i) fatorar o numerador e cancelar
quando usa
; (ii) expandir com binômio e simplificar o fator
quando usa
. Ambas removem o indeterminado
e permitem avaliar o limite por substituição direta. Dica prática: treine fatoração (diferença de quadrados, fator comum) e expansão de potências pequenas; isso resolve muitas derivadas à mão rapidamente.