Dada a função y=x-x^{3} e o ponto de coordenadas (1,0).
(a) usando a definição m=\lim _{x \mathrm{~B} a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
(b) usando a definição m=\lim _{h \beta a} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Passo 1

O enunciado dá a função y=x-x^{3} e o ponto (1,0). Pede para calcular a inclinação da reta tangente (o coeficiente angular m) no ponto x=1 usando duas definições de derivada:
(a) a definição pelo quociente de diferença quando x\to a: m=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}.
(b) a definição pelo incremento h\to 0: m=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Informações relevantes fornecidas: a função é f(x)=x-x^{3} e o ponto tem a=1. Observação imediata que vou usar: f(1)=1-1^{3}=0.
Agora vamos calcular passo a passo cada limite pedido.

Passo 2

Explicando a ideia antes de calcular (curta e prática). A derivada de f em a é o limite do quociente de diferença, que mede a “variação média” de f dividida pela variação de x quando a variação de x tende a zero. Nas duas definições o objetivo é o mesmo; apenas a variável que tende a zero muda: na (a) usamos x\to a, na (b) usamos h\to 0 com h=x-a. Em prova você pode usar qualquer uma; aqui faremos as duas porque o enunciado pediu.

Passo 3

Resolver (a) usando m=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} com a=1. Substituímos f(x)=x-x^{3} e f(1)=0. Escrevendo o quociente:
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{(x-x^{3})-0}{x-1}=\frac{x-x^{3}}{x-1}.

Passo 4

Agora factorizar o numerador para poder simplificar o fator x-1. Observe que
x-x^{3}=x(1-x^{2})=x(1-x)(1+x).
Então o quociente fica
\frac{x-x^{3}}{x-1}=\frac{x(1-x)(1+x)}{x-1}.

Passo 5

Note a relação entre 1-x e x-1: (1-x)=-(x-1). Portanto podemos simplificar:
\frac{x(1-x)(1+x)}{x-1}=x(1+x)\cdot\frac{1-x}{x-1}=x(1+x)\cdot(-1)=-x(1+x),
válido para todo x\neq 1. Como o limite considera x aproximando-se de 1 (mas não necessariamente igual a 1), essa simplificação é permitida para avaliar o limite.

Passo 6

Agora calcule o limite direto substituindo x\to 1 na expressão simplificada:
\lim_{x\to 1}\bigl(-x(1+x)\bigr)=-1\cdot(1+1)=-2.
Logo, pela definição (a), a inclinação é m=-2.

Passo 7

Resolver (b) usando m=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} com a=1. Primeiro calcule f(1+h). Temos
f(1+h)=(1+h)-(1+h)^{3}.
Expandindo (1+h)^{3} pela fórmula do cubo:
(1+h)^{3}=1+3h+3h^{2}+h^{3}.

Passo 8

Substituindo na diferença f(1+h)-f(1) (lembre que f(1)=0):
f(1+h)-f(1)=(1+h)-(1+3h+3h^{2}+h^{3})=1+h-1-3h-3h^{2}-h^{3}=-2h-3h^{2}-h^{3}.

Passo 9

Divida por h (assumindo h\neq 0, o que é suficiente para avaliar o limite):
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{-2h-3h^{2}-h^{3}}{h}=-2-3h-h^{2}.

Passo 10

Agora tome o limite quando h\to 0:
\lim_{h\to 0}(-2-3h-h^{2})=-2.
Portanto, pela definição (b), a inclinação também é m=-2.

Passo 11

Comentário didático final (curtinho e útil). Você viu duas técnicas que normalmente aparecem em prova: (i) fatorar o numerador e cancelar x-a quando usa x\to a; (ii) expandir com binômio e simplificar o fator h quando usa h\to 0. Ambas removem o indeterminado \frac{0}{0} e permitem avaliar o limite por substituição direta. Dica prática: treine fatoração (diferença de quadrados, fator comum) e expansão de potências pequenas; isso resolve muitas derivadas à mão rapidamente.

Resposta

(a)\\ m=-2
(b)\\ m=-2

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