Aletas retangulares de cobre (condutividade térmica =\\ 380 \mathrm{~W} / \\.\mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ) são colocadas em uma parede externa de um forno industrial. A temperatura da parede do forno é de 250^{\circ} \mathrm{C}, e a temperatura do ar externo, em contato com essa parede, é de 30^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de convecção do ar é igual a 40 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. O espaçamento entre as aletas é de 8 mm e a espessura das aletas é de 1 mm . Pede-se:
A eficiência de cada aleta;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar TUDO que temos, para não perder nada):
\begin{aligned} &\text{Condutividade térmica do cobre:}\quad k=380\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}\\\ &\text{Temperatura da parede (base das aletas):}\quad T_b=250^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{Temperatura do ar ambiente:}\quad T_\infty=30^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{Coeficiente de convecção do ar:}\quad h=40\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}\\\ &\text{Espessura da aleta:}\quad t=1\\ \mathrm{mm}=0{,}001\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Espaçamento entre aletas (informado):}\quad \text{8 mm} \end{aligned}éçãç
O que o enunciado pede: a eficiência de cada aleta.
Observação importante: o enunciado NÃO fornece explicitamente a altura (comprimento) L da aleta (distância que a aleta se projeta a partir da parede). Para calcular numericamente a eficiência de uma aleta retangular precisamos do comprimento L. Vou, portanto, formular a eficiência em função de L e calcular todos os parâmetros numéricos conhecidos (assim você terá a expressão pronta para avaliar para qualquer L). Também vou justificar uma aproximação usual (ponta isolada) que simplifica a fórmula e é comumente aceita quando a área da ponta é pequena em comparação às faces laterais.

Passo 2

Escolha do método e hipóteses (explicando como penso como seu colega de estudo):
  • Método escolhido: modelo de aleta de seção constante (aleta retangular uniforme), com convecção nas duas faces planas da aleta. Esse é o modelo mais básico e padrão para aletas planas e serve bem para uma explicação passo a passo.
  • Hipótese adicional adotada (com justificativa): trataremos a ponta da aleta como praticamente isolada (condição de ponta adiabática). Justificativa: a aleta é muito fina ( t=1 mm), então a área das duas faces laterais domina a troca térmica; a contribuição da ponta tipicamente é pequena. Além disso, a fórmula para ponta adiabática é simples e frequentemente usada em provas. Se você precisar da correção exata para ponta convectiva, eu posso acrescentar depois, mas isso complica bastante a expressão.
  • Resultado prático dessa escolha: a eficiência da aleta é dada pela fórmula clássica para aleta de seção constante com ponta adiabática:
\eta=\frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL},
onde m será definido e calculado a seguir.

Passo 3

Derivando a expressão para m (a constante de decaimento na aleta) e explicando cada termo — vamos mastigar:
  • Para uma aleta de espessura t (pequena) e unidade de comprimento em profundidade (por metro na direção perpendicular à página), a área da seção transversal é
A_c = t \times 1 = t.
  • O perímetro pelo qual ocorre convecção (duas faces planas, frente e verso) por unidade de comprimento é
P = 2 \quad(\text{duas faces por unidade de profundidade}).
  • A constante m é definida pela equação
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}.
Substituindo P=2 e A_c=t,
m=\sqrt{\frac{2h}{k\,t}}.
Significado físico: m tem dimensão de \mathrm{m^{-1}} e mede a rapidez com que a temperatura decai ao longo da aleta — quanto maior m, mais rapidamente a aleta se aproxima da temperatura ambiente, e menor a zona efetiva útil da aleta.

Passo 4

Cálculo numérico de m com os dados fornecidos:
m=\sqrt{\frac{2h}{k\,t}}=\sqrt{\frac{2\cdot 40}{380\cdot 0{,}001}}.
Vou calcular passo a passo:
2h = 2\cdot 40 = 80.
k\,t = 380\cdot 0{,}001 = 0{,}38.
\frac{2h}{k\,t}=\frac{80}{0{,}38}\approx 210{,}5263158.
m=\sqrt{210{,}5263158}\approx 14{,}514\\ \mathrm{m^{-1}}.
Arredondando de maneira prática para uso em prova: m\approx 14{,}51\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 5

Fórmula final da eficiência (com ponta adiabática) e como usá-la:
A eficiência da aleta, sob a hipótese de ponta adiabática, é
\eta=\frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL},
onde já temos m\approx 14{,}51\\ \mathrm{m^{-1}}. Logo, escrevemos a eficiência explicitamente em função de L:
\eta(L)=\frac{\operatorname{tanh}\!\big(14{,}51\,L\big)}{14{,}51\,L}.
Interpretação prática: para um valor dado de L (em metros) você calcula o produto adimensional mL, roda \operatorname{tanh}(mL) e divide por mL. Em provas costuma-se avaliar para comprimentos típicos de aleta; abaixo mostro alguns exemplos numéricos (apenas para dar intuição — estes valores não fazem parte da resposta final pedida, mas ajudam você a ver o comportamento):
  • Se L=0{,}01\\ \mathrm{m} (10 mm): mL\approx 0{,}1451\Rightarrow \eta\approx 0{,}9935 (muito eficiente).
  • Se L=0{,}02\\ \mathrm{m} (20 mm): mL\approx 0{,}2903\Rightarrow \eta\approx 0{,}9735.
  • Se L=0{,}05\\ \mathrm{m} (50 mm): mL\approx 0{,}7257\Rightarrow \eta\approx 0{,}853.
Esses exemplos mostram: aletas curtas (pequeno L) têm eficiência próxima de 1; aletas mais longas perdem eficiência porque parte da aleta fica próxima à temperatura ambiente e não contribui tanto.

Passo 6

Resumo e observações finais (dicas para prova):
  • Fórmula usada (hipótese ponta adiabática):
\eta(L)=\frac{\operatorname{tanh}(mL)}{mL},\quad m=\sqrt{\frac{2h}{k\,t}}.
  • Substituindo os dados numéricos:
m\approx 14{,}51\\ \mathrm{m^{-1}},
portanto
\eta(L)=\frac{\operatorname{tanh}\!\big(14{,}51\,L\big)}{14{,}51\,L}.
  • Se o enunciado da sua prova exigir tratar a ponta como convectiva (não adiabática), aí a expressão muda e teremos um termo adicional envolvendo \dfrac{h}{m k} — se for o caso, eu te mostro essa fórmula e como aplicá-la. Para a maioria de problemas de prova elementares, a aproximação de ponta adiabática está aceita quando a espessura é pequena e/ou quando se pede uma estimativa da eficiência.

Resposta

\displaystyle \eta(L)=\frac{\operatorname{tanh}\!\big(14{,}51\,L\big)}{14{,}51\,L}

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