Aletas retangulares de cobre (condutividade térmica
) são colocadas em uma parede externa de um forno industrial. A temperatura da parede do forno é de
, e a temperatura do ar externo, em contato com essa parede, é de
. O coeficiente de convecção do ar é igual a 40
. O espaçamento entre as aletas é de 8 mm e a espessura das aletas é de 1 mm . Pede-se:
A eficiência de cada aleta;
A eficiência de cada aleta;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar TUDO que temos, para não perder nada):
O que o enunciado pede: a eficiência de cada aleta.
Observação importante: o enunciado NÃO fornece explicitamente a altura (comprimento) da aleta (distância que a aleta se projeta a partir da parede). Para calcular numericamente a eficiência de uma aleta retangular precisamos do comprimento
. Vou, portanto, formular a eficiência em função de
e calcular todos os parâmetros numéricos conhecidos (assim você terá a expressão pronta para avaliar para qualquer
). Também vou justificar uma aproximação usual (ponta isolada) que simplifica a fórmula e é comumente aceita quando a área da ponta é pequena em comparação às faces laterais.
Observação importante: o enunciado NÃO fornece explicitamente a altura (comprimento)
Passo 2
Escolha do método e hipóteses (explicando como penso como seu colega de estudo):
- Método escolhido: modelo de aleta de seção constante (aleta retangular uniforme), com convecção nas duas faces planas da aleta. Esse é o modelo mais básico e padrão para aletas planas e serve bem para uma explicação passo a passo.
- Hipótese adicional adotada (com justificativa): trataremos a ponta da aleta como praticamente isolada (condição de ponta adiabática). Justificativa: a aleta é muito fina (
mm), então a área das duas faces laterais domina a troca térmica; a contribuição da ponta tipicamente é pequena. Além disso, a fórmula para ponta adiabática é simples e frequentemente usada em provas. Se você precisar da correção exata para ponta convectiva, eu posso acrescentar depois, mas isso complica bastante a expressão. - Resultado prático dessa escolha: a eficiência da aleta é dada pela fórmula clássica para aleta de seção constante com ponta adiabática:
onde
será definido e calculado a seguir.
Passo 3
Derivando a expressão para
(a constante de decaimento na aleta) e explicando cada termo — vamos mastigar:
- Para uma aleta de espessura
(pequena) e unidade de comprimento em profundidade (por metro na direção perpendicular à página), a área da seção transversal é
- O perímetro pelo qual ocorre convecção (duas faces planas, frente e verso) por unidade de comprimento é
- A constante
é definida pela equação
Substituindo
e
,
Significado físico:
tem dimensão de
e mede a rapidez com que a temperatura decai ao longo da aleta — quanto maior
, mais rapidamente a aleta se aproxima da temperatura ambiente, e menor a zona efetiva útil da aleta.
Passo 4
Cálculo numérico de
com os dados fornecidos:
Vou calcular passo a passo:
Arredondando de maneira prática para uso em prova:
.
Passo 5
Fórmula final da eficiência (com ponta adiabática) e como usá-la:
A eficiência da aleta, sob a hipótese de ponta adiabática, é
A eficiência da aleta, sob a hipótese de ponta adiabática, é
onde já temos
. Logo, escrevemos a eficiência explicitamente em função de
:
Interpretação prática: para um valor dado de
(em metros) você calcula o produto adimensional
, roda
e divide por
. Em provas costuma-se avaliar para comprimentos típicos de aleta; abaixo mostro alguns exemplos numéricos (apenas para dar intuição — estes valores não fazem parte da resposta final pedida, mas ajudam você a ver o comportamento):
- Se
(10 mm): (muito eficiente). - Se
(20 mm): . - Se
(50 mm): .
Esses exemplos mostram: aletas curtas (pequeno
) têm eficiência próxima de 1; aletas mais longas perdem eficiência porque parte da aleta fica próxima à temperatura ambiente e não contribui tanto.
Passo 6
Resumo e observações finais (dicas para prova):
- Fórmula usada (hipótese ponta adiabática):
- Substituindo os dados numéricos:
portanto
- Se o enunciado da sua prova exigir tratar a ponta como convectiva (não adiabática), aí a expressão muda e teremos um termo adicional envolvendo
— se for o caso, eu te mostro essa fórmula e como aplicá-la. Para a maioria de problemas de prova elementares, a aproximação de ponta adiabática está aceita quando a espessura é pequena e/ou quando se pede uma estimativa da eficiência.