Exercício 5) Calcular a velocidade média de escoamento e a declividade de um canal de seção trapezoidal, de máxima eficiência hidráulica, capaz de transportar 2 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~s}^{-1} \mathrm{com} um tirante d’água de 1,5 \mathrm{~m}. As paredes são em terra (\mathrm{n}=0,028) e taludadas na razão de 1,5 (horizontal) : 1 (vertical).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a velocidade média de escoamento e a declividade do canal. Os dados fornecidos são:
Q=2\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-1}},\qquad \text{tirante } y=1{,}5\\ \mathrm{m},\qquad n=0{,}028,
as paredes têm talude 1{,}5:1 horizontal:vertical, ou seja, o coeficiente de talude é
m=1{,}5.
Portanto precisamos projetar uma seção trapezoidal de máxima eficiência hidráulica (ou seja, escolher a largura de fundo b correspondente à seção eficiente), calcular a área da seção molhada A, o perímetro molhado P, o raio hidráulico R, depois obter a declividade S usando a fórmula de Manning e, finalmente, calcular a velocidade média V.

Passo 2

Explicação do que é “seção de máxima eficiência hidráulica” e dedução da relação entre b e y.
O critério clássico de “máxima eficiência hidráulica” para uma seção do canal (mantendo a mesma forma/talude) é escolher a geometria que, para uma dada área molhada A, minimize o perímetro molhado P (isso maximiza o raio hidráulico R=A/P para a mesma área, reduzindo perda por atrito). A partir dessa ideia podemos obter uma relação entre b e y.
Para a seção trapezoidal com talude m e profundidade y vale:
A = b\,y + m\,y^{2},
P = b + 2\,y\sqrt{1+m^{2}}.
Queremos minimizar P para uma área A fixa. Escrevemos b em função de A e y:
b=\frac{A-m\,y^{2}}{y}.
Substituímos em P e derivamos em relação a y (tratando A fixo) para achar o ponto extremo; impondo \dfrac{dP}{dy}=0 obtemos (após simplificação)
A = y^{2}\left(2\sqrt{1+m^{2}}-m\right).
Substituindo essa expressão de A de volta em b=\dfrac{A-m\,y^{2}}{y} obtemos a relação entre b e y para a seção de máxima eficiência:
b = 2\,y\bigl(\sqrt{1+m^{2}}-m\bigr).
Essa é uma fórmula padrão: para talude m e profundidade y, a largura de fundo b que torna a seção “hidraulicamente eficiente” é dada acima. Observação: essa condição vem de otimização (mínimo de P para A fixo).

Passo 3

Aplicar a fórmula de máxima eficiência ao nosso caso para obter b.
Primeiro calculemos \sqrt{1+m^{2}}. Com m=1{,}5,
\sqrt{1+m^{2}}=\sqrt{1+1{,}5^{2}}=\sqrt{1+2{,}25}=\sqrt{3{,}25}=1{,}802775\ldots
Agora a largura de fundo:
b = 2\,y\bigl(\sqrt{1+m^{2}}-m\bigr) =2\cdot 1{,}5\cdot(1{,}802775-1{,}5).
Calcule o termo entre parênteses:
1{,}802775-1{,}5=0{,}302775.
Portanto
b = 3\cdot 0{,}302775 = 0{,}908325\\ \mathrm{m}.
Arredondando convenientemente:
b \approx 0{,}908\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular área A, perímetro molhado P e raio hidráulico R com b e y conhecidos.
Usamos as fórmulas:
A = b\,y + m\,y^{2}, \qquad P = b + 2\,y\sqrt{1+m^{2}}, \qquad R=\frac{A}{P}.
Computando A:
A = 0{,}908325\cdot 1{,}5 + 1{,}5\cdot(1{,}5)^{2}.
Calculemos passo a passo:
0{,}908325\cdot 1{,}5 = 1{,}362488, \qquad 1{,}5\cdot(1{,}5)^{2}=1{,}5\cdot 2{,}25=3{,}375.
Logo
A = 1{,}362488 + 3{,}375 = 4{,}737488\\ \mathrm{m^{2}}.
Arredondando:
A \approx 4{,}7375\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora P:
P = 0{,}908325 + 2\cdot 1{,}5\cdot 1{,}802775.
Calculemos 2\cdot 1{,}5\cdot 1{,}802775 = 3\cdot 1{,}802775 = 5{,}408325.
Assim
P = 0{,}908325 + 5{,}408325 = 6{,}31665\\ \mathrm{m}.
Arredondando:
P \approx 6{,}3167\\ \mathrm{m}.
Agora o raio hidráulico:
R=\frac{A}{P}=\frac{4{,}737488}{6{,}31665}=0{,}7499\\ \mathrm{m}.
Arredondando:
R \approx 0{,}750\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Lembrar e explicar a fórmula de Manning e isolarmos a declividade S.
A fórmula de Manning para a vazão é
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão (\mathrm{m^{3}\,s^{-1}}),
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning,
  • A é a área da seção molhada (\mathrm{m^{2}}),
  • R é o raio hidráulico (\mathrm{m}),
  • S é a declividade (gradiente de energia, adimensional).
Queremos a declividade necessária S, então isolamos S a partir da fórmula:
S = \left(\frac{n\,Q}{A\,R^{2/3}}\right)^{2}.

Passo 6

Calcular R^{2/3} e a declividade S numericamente.
Primeiro R^{2/3}:
R^{2/3} = (0{,}7499)^{2/3}.
Calculando numericamente,
R^{2/3}\approx 0{,}8256.
Agora calculemos o termo dentro do colchete:
\frac{n\,Q}{A\,R^{2/3}} = \frac{0{,}028\cdot 2}{4{,}737488\cdot 0{,}8256}.
Calcule o denominador:
4{,}737488\cdot 0{,}8256 \approx 3{,}910.
Logo o quociente:
\frac{0{,}056}{3{,}910} \approx 0{,}01433.
Portanto
S = (0{,}01433)^{2} \approx 0{,}0002054.
Arredondando,
S \approx 2{,}05\times 10^{-4}.
Em porcentagem isso equivale a aproximadamente 0{,}0205\%.

Passo 7

Calcular a velocidade média V diretamente (ou verificar com Manning).
A velocidade média é simplesmente
V=\frac{Q}{A}=\frac{2}{4{,}737488}\approx 0{,}4223\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Arredondando:
V \approx 0{,}422\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Verificação (opcional): usando a fórmula de Manning para velocidade
V=\frac{1}{n}\,R^{2/3}\,S^{1/2},
temos R^{2/3}\approx 0{,}8256 e S^{1/2}\approx 0{,}01433, então
V\approx \frac{1}{0{,}028}\cdot 0{,}8256\cdot 0{,}01433 \approx 35{,}714\cdot 0{,}01183 \approx 0{,}4227\\ \mathrm{m\,s^{-1}},
coincidindo com Q/A (dentro de pequenas diferenças de arredondamento).

Resposta

Velocidade média V \approx 0{,}422\\ \mathrm{m\,s^{-1}}
Declividade S \approx 2{,}05\times 10^{-4}

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