Exercício 5) Calcular a velocidade média de escoamento e a declividade de um canal de seção trapezoidal, de máxima eficiência hidráulica, capaz de transportar
um tirante d’água de
. As paredes são em terra
e taludadas na razão de 1,5 (horizontal) : 1 (vertical).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a velocidade média de escoamento e a declividade do canal. Os dados fornecidos são:
as paredes têm talude
horizontal:vertical, ou seja, o coeficiente de talude é
Portanto precisamos projetar uma seção trapezoidal de máxima eficiência hidráulica (ou seja, escolher a largura de fundo
correspondente à seção eficiente), calcular a área da seção molhada
, o perímetro molhado
, o raio hidráulico
, depois obter a declividade
usando a fórmula de Manning e, finalmente, calcular a velocidade média
.
Passo 2
Explicação do que é “seção de máxima eficiência hidráulica” e dedução da relação entre
e
.
O critério clássico de “máxima eficiência hidráulica” para uma seção do canal (mantendo a mesma forma/talude) é escolher a geometria que, para uma dada área molhada
, minimize o perímetro molhado
(isso maximiza o raio hidráulico
para a mesma área, reduzindo perda por atrito). A partir dessa ideia podemos obter uma relação entre
e
.
Para a seção trapezoidal com talude
e profundidade
vale:
Queremos minimizar
para uma área
fixa. Escrevemos
em função de
e
:
Substituímos em
e derivamos em relação a
(tratando
fixo) para achar o ponto extremo; impondo
obtemos (após simplificação)
Substituindo essa expressão de
de volta em
obtemos a relação entre
e
para a seção de máxima eficiência:
Essa é uma fórmula padrão: para talude
e profundidade
, a largura de fundo
que torna a seção “hidraulicamente eficiente” é dada acima. Observação: essa condição vem de otimização (mínimo de
para
fixo).
Passo 3
Aplicar a fórmula de máxima eficiência ao nosso caso para obter
.
Primeiro calculemos
. Com
,
Agora a largura de fundo:
Calcule o termo entre parênteses:
Portanto
Arredondando convenientemente:
Passo 4
Calcular área
, perímetro molhado
e raio hidráulico
com
e
conhecidos.
Usamos as fórmulas:
Computando
:
Calculemos passo a passo:
Logo
Arredondando:
Agora
:
Calculemos
.
Assim
Assim
Arredondando:
Agora o raio hidráulico:
Arredondando:
Passo 5
Lembrar e explicar a fórmula de Manning e isolarmos a declividade
.
A fórmula de Manning para a vazão é
onde:
-
é a vazão , -
é o coeficiente de rugosidade de Manning, -
é a área da seção molhada , -
é o raio hidráulico , -
é a declividade (gradiente de energia, adimensional).
Queremos a declividade necessária
, então isolamos
a partir da fórmula:
Passo 6
Calcular
e a declividade
numericamente.
Primeiro
:
Calculando numericamente,
Agora calculemos o termo dentro do colchete:
Calcule o denominador:
Logo o quociente:
Portanto
Arredondando,
Em porcentagem isso equivale a aproximadamente
.
Passo 7
Calcular a velocidade média
diretamente (ou verificar com Manning).
A velocidade média é simplesmente
Arredondando:
Verificação (opcional): usando a fórmula de Manning para velocidade
temos
e
, então
coincidindo com
(dentro de pequenas diferenças de arredondamento).
Resposta
Velocidade média
Declividade
Declividade