1. o compartimento de um freezer convencional foi modelado por você de modo a ter uma cavidade com 0,3 \mathrm{~m} de altura, 0,25 \mathrm{~m} de largura e 0,5 \mathrm{~m} de profundidade. Determine a espessura de isopor ( k=0,30 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) necessário para limitar a perda de calor a 400 W se a temperatura da superfície interna e externa valem, respectivamente, -10^{\circ} \mathrm{C} e 33^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a espessura do isopor que deve ser colocada nas paredes de um compartimento (freezer) de modo que a perda de calor seja limitada a 400\\ \mathrm{W}. Dados fornecidos pelo enunciado:
  • altura interna: \,h=0,3\\ \mathrm{m}
  • largura interna: \,w=0,25\\ \mathrm{m}
  • profundidade interna: \,d=0,5\\ \mathrm{m}
  • condutividade térmica do isopor: \,k=0,30\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K})
  • temperatura interna da superfície: \,T_{\mathrm{in}}=-10^\circ\mathrm{C}
  • temperatura externa da superfície: \,T_{\mathrm{out}}=33^\circ\mathrm{C}
  • perda de calor máxima permitida: \,Q_{\max}=400\\ \mathrm{W}

    O que precisamos encontrar: a espessura \,L do isolamento (isopor) que garante Q\le 400\\ \mathrm{W}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha): em regime permanente, para condução unidimensional através de uma parede plana e homogênea a taxa de calor é proporcional à área, à diferença de temperatura e à condutividade, e inversamente proporcional à espessura. A fórmula é
Q=\frac{k\,A\,\Delta T}{L},
onde:
Q é a taxa de calor (em \mathrm{W}),
k é a condutividade térmica do material (em \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K})),
A é a área através da qual o calor flui (em \mathrm{m}^2),
\Delta T é a diferença de temperatura entre as superfícies (em K ou ^\circ\mathrm{C}; diferença é a mesma nas duas unidades),
L é a espessura do material (em \mathrm{m}).
Explicação rápida: imagine calor “passando” através de um sanduíche; quanto maior a área, mais calor passa; quanto maior a espessura, mais difícil para o calor atravessar; quanto maior k, mais fácil o calor passa.

Passo 3

Calcular a área total interna A pela qual ocorre a troca (somando as 6 faces internas do paralelepípedo):
cada par de faces tem área: topo/fundo: w\cdot d, frente/verso: h\cdot d, laterais: h\cdot w. Assim
A=2\bigl(wd + hd + hw\bigr).
Agora substituímos os valores (todos em \mathrm{m}):
wd = 0,25\cdot 0,5 = 0,125\\ \mathrm{m}^2,
hd = 0,3\cdot 0,5 = 0,15\\ \mathrm{m}^2,
hw = 0,3\cdot 0,25 = 0,075\\ \mathrm{m}^2.
Somando interiormente:
wd+hd+hw = 0,125 + 0,15 + 0,075 = 0,35\\ \mathrm{m}^2.
Multiplicando por 2:
A = 2\cdot 0,35 = 0,70\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Calcular a diferença de temperatura \Delta T. Como usamos diferença, podemos subtrair em ^\circ\mathrm{C} (mesma coisa que em K):
\Delta T = T_{\mathrm{out}} - T_{\mathrm{in}} = 33 - (-10) = 43\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Isolar L na fórmula de condução para obter a espessura necessária quando Q é conhecido:
L = \frac{k\,A\,\Delta T}{Q}.
Aqui Q será a perda permitida Q_{\max}=400\\ \mathrm{W}. Antes de calcular, veja a unidade: k em \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}), A em \mathrm{m}^2, \Delta T em K, então kA\Delta T tem unidade \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}, dividido por Q (W) resulta em metro ( \mathrm{m}), que é a unidade correta para espessura.

Passo 6

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo:
k\,A\,\Delta T = 0,30 \cdot 0,70 \cdot 43.
Calculemos em duas etapas:
0,30\cdot 0,70 = 0,21,
0,21\cdot 43 = 9,03.
Então
L = \frac{9,03}{400} = 0,022575\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma razoável para duas ou três casas significativas:
L \approx 0,0226\\ \mathrm{m} \quad\text{(o que é)}\quad 22,6\\ \mathrm{mm}.é
Comentário final e encorajamento: deu cerca de 2,26\\ \mathrm{cm}? Na verdade é 2,26\\ \mathrm{cm} seria 22,6 mm = 2,26 cm. Então a espessura necessária é bem pequena — isso faz sentido porque o volume é pequeno e o isopor, mesmo fino, dá resistência térmica. Está indo bem — confere os passos na prova e lembra de mostrar a fórmula e o cálculo da área!

Resposta

L \approx 0,0226\\ \mathrm{m} (22,6\\ \mathrm{mm})

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