Prove que:
Todo número primo é da forma 4 k+1 ou 4 k+3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo número primo p (excetuando o caso p=2) é congruente a 1 ou a 3 módulo 4, isto é, pode ser escrito como 4k+1 ou 4k+3. O conteúdo usado será o Algoritmo da Divisão (ou Teorema da Divisão Euclidiana) e noções básicas de divisibilidade.

Passo 2

Pelo Algoritmo da Divisão Euclidiana, dado o inteiro primo p, existem inteiros q e r tais que
p = 4q + r,
com r\in\{0,1,2,3\}.

Passo 3

Analisamos cada caso para r:
  1. Se r=0, então p=4q. Mas isso implica p é múltiplo de 4 e maior que 4 (já que q\ge1), logo seria composto, contradizendo a primalidade de p.
  2. Se r=2, então
p = 4q + 2 = 2\,(2q+1),
o que mostra p é par. O único primo par é 2 — caso que estamos excluindo nesta análise. Para qualquer outro primo, não pode ter resto 2.
Dos quatro restos possíveis, os únicos que não violam a primalidade (para p>2) são r=1 e r=3.

Passo 4

Concluímos que todo primo p>2 satisfaz
p = 4k+1 \quad\text{ou}\quad p = 4k+3
para algum inteiro k.

Resposta

Qualquer número primo p>2 é da forma 4k+1 ou 4k+3.

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