Prove que:
Todo número primo é da forma
ou
Todo número primo é da forma
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todo número primo
(excetuando o caso
) é congruente a 1 ou a 3 módulo 4, isto é, pode ser escrito como
ou
. O conteúdo usado será o Algoritmo da Divisão (ou Teorema da Divisão Euclidiana) e noções básicas de divisibilidade.
Passo 2
Pelo Algoritmo da Divisão Euclidiana, dado o inteiro primo
, existem inteiros
e
tais que
com
.
Passo 3
Analisamos cada caso para
:
- Se
, então . Mas isso implica é múltiplo de 4 e maior que 4 (já que ), logo seria composto, contradizendo a primalidade de . - Se
, então
o que mostra
é par. O único primo par é
— caso que estamos excluindo nesta análise. Para qualquer outro primo, não pode ter resto 2.
Dos quatro restos possíveis, os únicos que não violam a primalidade (para
) são
e
.
Passo 4
Concluímos que todo primo
satisfaz
para algum inteiro
.
Resposta
Qualquer número primo
é da forma
ou
.