Com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6 :
Quantos números ímpares de 4 algarismos distintos podemos formar ?

Passo 1

O enunciado dá os algarismos \{1,2,3,4,5,6\} e pede: quantos números ímpares de 4 algarismos com algarismos distintos podemos formar?
Informações relevantes: os números têm 4 algarismos (posição milhares, centenas, dezenas e unidades), todos os algarismos devem ser distintos, e o número deve ser ímpar. Não há o dígito 0 disponível, então não precisamos nos preocupar com restrição de primeiro dígito ser zero.

Passo 2

Condição de ímpar: um número é ímpar quando seu algarismo das unidades é ímpar. Dos algarismos fornecidos, os ímpares são \{1,3,5\}. Logo, o algarismo das unidades tem \;3\; opções. Vou anotar: número de escolhas para a unidade =3.

Passo 3

Escolha do primeiro algarismo (milhares): depois de escolher o algarismo das unidades, resta um total de 6-1=5 algarismos disponíveis (porque os dígitos devem ser distintos). Como não há o dígito 0 na lista, qualquer um desses 5 pode ser usado como primeiro algarismo. Logo, número de escolhas para o milhares =5.

Passo 4

Escolha dos algarismos das posições centenas e dezenas: após fixar unidade e milhares, sobram 6-2=4 algarismos disponíveis. Precisamos preencher duas posições distintas (centenas e dezenas) e a ordem importa (por exemplo, trocar centenas por dezenas dá número diferente). O número de maneiras de escolher e ordenar k objetos dentre n chama-se permutação parcial e é dado por
P(n,k)=n(n-1)\cdots (n-k+1).
Aqui n=4 e k=2, então
P(4,2)=4\times 3=12.
Portanto há \;12\; maneiras de preencher centenas e dezenas.

Passo 5

Princípio multiplicativo (regra do produto): quando uma escolha é feita em etapas independentes (unidades, milhares, depois centenas e dezenas), o total de resultados é o produto do número de opções em cada etapa. Aqui temos:
\text{total} = (\text{opções para unidade})\times(\text{opções para milhares})\times(\text{opções para centenas e dezenas})çõçõçõ
Substituindo os valores:
\text{total} = 3 \times 5 \times 12.

Passo 6

Calcule passo a passo:
5\times 12 = 60,
3\times 60 = 180.
Posso dar um exemplo concreto só pra visualizar: escolha unidade =5 (uma das 3), milhares =2 (uma das 5 restantes), depois escolha centenas e dezenas entre os 4 restantes, por exemplo 4 e 1, formando o número 2415. Isso ilustra uma das 180 possibilidades.

Resposta

180

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