Com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6 :
Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar tal que o último algarismo seja sempre 6 ?

Passo 1

O enunciado pede para contar quantos números de 4 algarismos, formados com os algarismos \{1,2,3,4,5,6\}, têm todos os algarismos distintos e têm o último algarismo igual a \,6. As informações dadas e condições importantes são:
  • Conjunto de algarismos disponíveis: \{1,2,3,4,5,6\}.
  • O número tem 4 algarismos: posições são (1) milhares, (2) centenas, (3) dezenas e (4) unidades.
  • Todos os algarismos devem ser distintos (sem repetição).
  • O último algarismo (unidades) é sempre \,6.

Passo 2

A condição “último algarismo = \,6” implica que a posição das unidades está fixada com o algarismo \,6. Portanto, os três primeiros algarismos (milhares, centenas e dezenas) devem ser escolhidos entre os algarismos restantes \{1,2,3,4,5\} e devem ser distintos entre si e diferentes de \,6.

Passo 3

Quando a ordem importa (por exemplo, escolher quais algarismos vão para milhares, centenas e dezenas), estamos lidando com permutações sem repetição. Permutações sem repetição de k elementos escolhidos de um conjunto de n elementos tem fórmula
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Podemos também contar passo a passo por posições multiplicando as opções disponíveis para cada posição.

Passo 4

Para a posição dos milhares (primeiro algarismo) podemos escolher qualquer um dos \,5 algarismos restantes \{1,2,3,4,5\}. Logo, há \,5 escolhas para o primeiro algarismo.
Depois de escolher o algarismo das milhares, para a posição das centenas só restam \,4 algarismos disponíveis (dos \,5 iniciais um já foi usado). Logo, há \,4 escolhas para o segundo algarismo.
Após escolher milhares e centenas, para a posição das dezenas restam \,3 algarismos disponíveis. Logo, há \,3 escolhas para o terceiro algarismo.

Passo 5

Como as escolhas para milhares, centenas e dezenas são independentes (dentro das restrições de não repetir), pelo princípio multiplicativo multiplicamos as opções:
5\cdot 4\cdot 3 = 60.
Esse produto conta todas as formas ordenadas de escolher 3 algarismos distintos dentre os 5 possíveis, que é também P(5,3). Usando a fórmula de permutação:
P(5,3)=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=\frac{120}{2}=60.

Passo 6

Existem \,60 números diferentes de 4 algarismos que satisfazem as condições. Alguns exemplos concretos (seguindo a regra de que o último dígito é \,6 e sem repetição): \,1236, \,1536, \,4256, etc. Esses ilustram como a escolha dos três primeiros algarismos em ordem gera os diferentes números.

Resposta

\,60

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