Com os algarismos
e 6 :
Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar tal que o último algarismo seja sempre 6 ?
Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar tal que o último algarismo seja sempre 6 ?
Passo 1
O enunciado pede para contar quantos números de 4 algarismos, formados com os algarismos
, têm todos os algarismos distintos e têm o último algarismo igual a
. As informações dadas e condições importantes são:
- Conjunto de algarismos disponíveis:
. - O número tem 4 algarismos: posições são (1) milhares, (2) centenas, (3) dezenas e (4) unidades.
- Todos os algarismos devem ser distintos (sem repetição).
- O último algarismo (unidades) é sempre
.
Passo 2
A condição “último algarismo =
” implica que a posição das unidades está fixada com o algarismo
. Portanto, os três primeiros algarismos (milhares, centenas e dezenas) devem ser escolhidos entre os algarismos restantes
e devem ser distintos entre si e diferentes de
.
Passo 3
Quando a ordem importa (por exemplo, escolher quais algarismos vão para milhares, centenas e dezenas), estamos lidando com permutações sem repetição. Permutações sem repetição de
elementos escolhidos de um conjunto de
elementos tem fórmula
onde
(fatorial) significa
. Podemos também contar passo a passo por posições multiplicando as opções disponíveis para cada posição.
Passo 4
Para a posição dos milhares (primeiro algarismo) podemos escolher qualquer um dos
algarismos restantes
. Logo, há
escolhas para o primeiro algarismo.
Depois de escolher o algarismo das milhares, para a posição das centenas só restam algarismos disponíveis (dos
iniciais um já foi usado). Logo, há
escolhas para o segundo algarismo.
Após escolher milhares e centenas, para a posição das dezenas restam algarismos disponíveis. Logo, há
escolhas para o terceiro algarismo.
Depois de escolher o algarismo das milhares, para a posição das centenas só restam
Após escolher milhares e centenas, para a posição das dezenas restam
Passo 5
Como as escolhas para milhares, centenas e dezenas são independentes (dentro das restrições de não repetir), pelo princípio multiplicativo multiplicamos as opções:
Esse produto conta todas as formas ordenadas de escolher 3 algarismos distintos dentre os 5 possíveis, que é também
. Usando a fórmula de permutação:
Passo 6
Existem
números diferentes de 4 algarismos que satisfazem as condições. Alguns exemplos concretos (seguindo a regra de que o último dígito é
e sem repetição):
,
,
, etc. Esses ilustram como a escolha dos três primeiros algarismos em ordem gera os diferentes números.