Com os algarismos
e 6 :
Quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar?
Quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar?
Passo 1
O enunciado pede: “Com os algarismos
e
: quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar?”\n
Informações dadas e condições importantes:
Informações dadas e condições importantes:
- O conjunto de dígitos disponível é
. - Queremos números de
algarismos (ou seja, formato milhares–centenas–dezenas–unidades). - Todos os algarismos do número devem ser distintos (sem repetição).
- O número deve ser par, portanto o algarismo das unidades deve ser par.
- Não há o dígito
no conjunto, então não precisamos nos preocupar com o problema “primeiro dígito não pode ser zero” (todos os dígitos disponíveis são válidos para a casa dos milhares).
Passo 2
Estratégia geral (explicação didática da técnica usada): vamos contar escolhas por posição (casa das unidades, milhares, centenas, dezenas) usando o princípio fundamental da contagem (regra do produto).\n
Princípio fundamental da contagem: se uma tarefa é feita em etapas e a etapa 1 pode ser feita de maneiras, para cada escolha da etapa 1 a etapa 2 pode ser feita de
maneiras, e para cada escolha das duas primeiras a etapa 3 pode ser feita de
maneiras, então o total de maneiras de realizar as três etapas é
. Exemplo simples: se tenho
camisas e
calças, combinações camisa+calça =
.\n
Aqui as “etapas” são escolher o algarismo das unidades (deve ser par) e, depois, escolher o algarismo das milhares, centenas e dezenas sem repetir nenhum já usado.
Princípio fundamental da contagem: se uma tarefa é feita em etapas e a etapa 1 pode ser feita de
Aqui as “etapas” são escolher o algarismo das unidades (deve ser par) e, depois, escolher o algarismo das milhares, centenas e dezenas sem repetir nenhum já usado.
Passo 3
Escolha do algarismo das unidades (última casa): o número tem de ser par. Dos dígitos disponíveis
os pares são
. Portanto o número de escolhas possíveis para a casa das unidades é
Vou anotar mentalmente: depois de escolher a unidade, esse dígito não pode mais ser usado nas outras casas (por causa da restrição “dígitos distintos”).
Passo 4
Escolha do algarismo dos milhares (primeira casa): após fixar a unidade, restam
dígitos disponíveis (porque não podemos repetir o dígito já usado nas unidades). Como nenhum dos dígitos é zero, todos esses
são válidos para a casa dos milhares. Logo existem
escolhas possíveis para o algarismo das milhares.
Passo 5
Escolha do algarismo das centenas (segunda casa depois das milhares): após escolher unidade e milhares, já foram usados
dígitos, então restam
dígitos disponíveis. Como precisamos que sejam distintos, podemos escolher qualquer um desses
para a casa das centenas. Logo existem
escolhas para a casa das centenas.
Passo 6
Escolha do algarismo das dezenas (terceira casa): após fixar unidades, milhares e centenas já usamos
dígitos, restam
dígitos disponíveis para a casa das dezenas. Portanto existem
escolhas para a casa das dezenas.
Passo 7
Aplicando a regra do produto: multiplicamos o número de escolhas em cada etapa para obter o total de números possíveis. Assim:
Agora calculamos passo a passo:
,
, e
. Logo o total é
Passo 8
Pequena verificação mental (garantia de consistência): se tivéssemos escolhido primeiro o algarismo das milhares e só depois a unidade par, o raciocínio daria o mesmo número porque as restrições e o princípio da contagem levam à mesma multiplicação geral — isso confirma que o método está correto.\n
Você consegue tentar imaginar um exemplo concreto: por exemplo, escolher unidade (1 maneira dentre 3), milhares
(1 dentre 5 restantes), centenas
(1 dentre 4) e dezenas
(1 dentre 3) gera o número
— um dos
possíveis.
Você consegue tentar imaginar um exemplo concreto: por exemplo, escolher unidade
Resposta
180