Com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6 :
Quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar?

Passo 1

O enunciado pede: “Com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6: quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar?”\n
Informações dadas e condições importantes:
  • O conjunto de dígitos disponível é \{1,2,3,4,5,6\}.
  • Queremos números de 4 algarismos (ou seja, formato milhares–centenas–dezenas–unidades).
  • Todos os algarismos do número devem ser distintos (sem repetição).
  • O número deve ser par, portanto o algarismo das unidades deve ser par.
  • Não há o dígito 0 no conjunto, então não precisamos nos preocupar com o problema “primeiro dígito não pode ser zero” (todos os dígitos disponíveis são válidos para a casa dos milhares).

Passo 2

Estratégia geral (explicação didática da técnica usada): vamos contar escolhas por posição (casa das unidades, milhares, centenas, dezenas) usando o princípio fundamental da contagem (regra do produto).\n
Princípio fundamental da contagem: se uma tarefa é feita em etapas e a etapa 1 pode ser feita de a maneiras, para cada escolha da etapa 1 a etapa 2 pode ser feita de b maneiras, e para cada escolha das duas primeiras a etapa 3 pode ser feita de c maneiras, então o total de maneiras de realizar as três etapas é a\cdot b\cdot c. Exemplo simples: se tenho 3 camisas e 2 calças, combinações camisa+calça = 3\cdot 2=6.\n
Aqui as “etapas” são escolher o algarismo das unidades (deve ser par) e, depois, escolher o algarismo das milhares, centenas e dezenas sem repetir nenhum já usado.

Passo 3

Escolha do algarismo das unidades (última casa): o número tem de ser par. Dos dígitos disponíveis \{1,2,3,4,5,6\} os pares são \{2,4,6\}. Portanto o número de escolhas possíveis para a casa das unidades é
3.
Vou anotar mentalmente: depois de escolher a unidade, esse dígito não pode mais ser usado nas outras casas (por causa da restrição “dígitos distintos”).

Passo 4

Escolha do algarismo dos milhares (primeira casa): após fixar a unidade, restam 6-1=5 dígitos disponíveis (porque não podemos repetir o dígito já usado nas unidades). Como nenhum dos dígitos é zero, todos esses 5 são válidos para a casa dos milhares. Logo existem
5
escolhas possíveis para o algarismo das milhares.

Passo 5

Escolha do algarismo das centenas (segunda casa depois das milhares): após escolher unidade e milhares, já foram usados 2 dígitos, então restam 6-2=4 dígitos disponíveis. Como precisamos que sejam distintos, podemos escolher qualquer um desses 4 para a casa das centenas. Logo existem
4
escolhas para a casa das centenas.

Passo 6

Escolha do algarismo das dezenas (terceira casa): após fixar unidades, milhares e centenas já usamos 3 dígitos, restam 6-3=3 dígitos disponíveis para a casa das dezenas. Portanto existem
3
escolhas para a casa das dezenas.

Passo 7

Aplicando a regra do produto: multiplicamos o número de escolhas em cada etapa para obter o total de números possíveis. Assim:
\text{total} = 3 \times 5 \times 4 \times 3.
Agora calculamos passo a passo: 5\times4=20, 20\times3=60, e 60\times3=180. Logo o total é
180.

Passo 8

Pequena verificação mental (garantia de consistência): se tivéssemos escolhido primeiro o algarismo das milhares e só depois a unidade par, o raciocínio daria o mesmo número porque as restrições e o princípio da contagem levam à mesma multiplicação geral — isso confirma que o método está correto.\n
Você consegue tentar imaginar um exemplo concreto: por exemplo, escolher unidade 4 (1 maneira dentre 3), milhares 1 (1 dentre 5 restantes), centenas 2 (1 dentre 4) e dezenas 3 (1 dentre 3) gera o número 1\,2\,3\,4 — um dos 180 possíveis.

Resposta

180

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