- Ex. 127 - A fórmula para determinar a circunferência passando por tres pontos dá a equação daquela circunferência a partir de um determinante
que depois pode ser transformada na forma usual,
Prove que aquele determinante nunca resultará em uma equação de circunferência com raio negativo.
Passo 1
O enunciado fala da fórmula determinantal que gera a equação geral de uma circunferência que passa por três pontos não colineares, na forma
e depois completa quadrados para obter
O que vamos precisar é (a) completar quadrados para identificar
em função de
e (b) lembrar a interpretação geométrica de
como distância do centro a qualquer ponto da circunferência.
Passo 2
Começamos dividindo a equação geral por
(sabendo que
porque os três pontos não são colineares), obtendo
Agora completamos quadrados em
e
:
Reagrupando, vem
Portanto
Passo 3
Geometricamente, uma vez que essa circunferência passa pelos três pontos dados, o centro
está a igual distância de cada ponto. Se tomarmos um desses pontos, digamos
, então por definição de circunferência
Como soma de dois quadrados,
e
, segue imediatamente que
Resposta
Fica claro que
é a soma de quadrados reais (a distância ao quadrado de um ponto até o centro), logo nunca pode ser negativa.