• Ex. 127 - A fórmula para determinar a circunferência passando por tres pontos dá a equação daquela circunferência a partir de um determinante
det(cdots)=A(x^2+y^2)+B x+C y+D=0
que depois pode ser transformada na forma usual,
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
Prove que aquele determinante nunca resultará em uma equação de circunferência com raio negativo.

Passo 1

O enunciado fala da fórmula determinantal que gera a equação geral de uma circunferência que passa por três pontos não colineares, na forma
A(x^2+y^2)+Bx+Cy+D=0,
e depois completa quadrados para obter
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
O que vamos precisar é (a) completar quadrados para identificar a,b,r^2 em função de A,B,C,D e (b) lembrar a interpretação geométrica de r como distância do centro a qualquer ponto da circunferência.

Passo 2

Começamos dividindo a equação geral por A (sabendo que Aneq0 porque os três pontos não são colineares), obtendo
x^2+y^2+BAx+CAy+DA=0
Agora completamos quadrados em x e y:
l(x+B2Ar)^2 - l(B2Ar)^2 +l(y+C2Ar)^2 - l(C2Ar)^2 +DA=0
Reagrupando, vem
l(x+B2Ar)^2 + l(y+C2Ar)^2 =l(B2Ar)^2+l(C2Ar)^2-DA
Portanto
a=-B2A, b=-C2A, r^2=l(B2Ar)^2+l(C2Ar)^2-DA

Passo 3

Geometricamente, uma vez que essa circunferência passa pelos três pontos dados, o centro l(a,br) está a igual distância de cada ponto. Se tomarmos um desses pontos, digamos l(x1,y1r), então por definição de circunferência
r^2=(x1-a)^2+(y1-b)^2
Como soma de dois quadrados, (x1-a)^2>=0 e (y1-b)^2>=0, segue imediatamente que
r^2=(x1-a)^2+(y1-b)^2>=0

Resposta

Fica claro que r^2 é a soma de quadrados reais (a distância ao quadrado de um ponto até o centro), logo nunca pode ser negativa.

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