Ex. 131 - Seja A uma matriz quadrada com det A=d, e A^prime=P1 P2 ldots Pk A, onde cada Pi é uma matriz que permuta duas linhas adjacentes. Relacione o determinante de A^prime com k.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz quadrada A com det A = d. Definimos
A' = P1P2cdots PkA
onde cada Pi é a matriz que troca duas linhas adjacentes. Vamos usar a propriedade do determinante em operações elementares de linha.

Passo 2

Sabe-se que trocar duas linhas de uma matriz inverte o sinal do seu determinante. Portanto, para cada matriz de permutação que troca linhas adjacentes vale
det Pi = -1

Passo 3

Pela multiplicatividade do determinante,
det A' = det(P1P2cdots PkA) = det P1,det P2,cdots,det Pk,det A
Como cada det Pi=-1, o produto det P1cdotsdet Pk=(-1)^k.

Passo 4

Logo,
det A' = (-1)^k det A = (-1)^k d

Resposta

det A' = (-1)^k d

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