Ex. 139 - Seja T(x, y, z)^top=(2 x, y, y-z). Prove que a matriz
(ccc 1 & 0 & 3 2 & 1 & 0 -2 & 0 & -6 )
não pode representar T, em nenhuma base de R^3.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z)^top=(2x,;y,;y-z)
e pede para mostrar que a matriz
A= 1 & 0 & 3 2 & 1 & 0 -2& 0 & -6
não pode ser a representação de T em nenhuma base de R^3.
A ideia central é usar o fato de que o determinante de um operador linear é o mesmo em qualquer base: se A representasse T, teríamos det A=det T.

Passo 2

Mostramos que T é injetora (logo seu determinante é diferente de zero). Resolver
T(x,y,z)=(0,0,0)
é equivalente ao sistema
2x=0, y=0, y-z=0
Da primeira equação vem x=0. Da segunda, y=0. Então da terceira segue 0 - z=0, ou seja z=0.
Logo o núcleo de T é trivial, o que implica que T é invertível e, portanto,
det T neq 0

Passo 3

Calculamos det A. Expandindo pela primeira linha,
det A =1cdotdet1&00&-6 -0 +3cdotdet2&1-2&0 =1cdot(1cdot(-6)-0)+3cdot(2cdot0-1cdot(-2)) =-6+3cdot2 =0

Passo 4

Se A representasse T em alguma base, teríamos a igualdade de determinantes
det A ;=;det T
Mas do Passo 2 tiramos det Tneq0 e do Passo 3 tiramos det A=0. Isso é uma contradição.

Resposta

Não existe base em que a matriz de T seja
1&0&32&1&0-2&0&-6, pois seus determinantes diferem.

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