Ex. 144 - O permanente de uma matriz é uma função semelhante ao determinante, com uma diferença: na fórmula de Leibniz, retiramos a multiplicação por sgn(
). Que propriedades de determinante o permanente também tem? E para que matrizes reais o permanente é igual ao determinante? (Tente caracterizar as matrizes sem usar permutações.)
Passo 1
O enunciado define o permanente de uma matriz
como
isto é, a fórmula de Leibniz para o determinante sem o fator . Pede-se (a) listar quais propriedades do determinante também valem para o permanente e (b) caracterizar, sem recorrer a permutações, as matrizes reais que satisfazem
Passo 2
Um traço fundamental do determinante é a multilinearidade em cada linha (ou coluna): se numa linha substituímos por combinação linear, o determinante responde linearmente. O permanente herda exatamente essa mesma propriedade, pois a soma que define
é bilinear em cada linha (idem para colunas). Em particular:
- Se uma linha (ou coluna) é múltiplo escalar de outra, podemos isolar esse escalar e a expressão do permanente fica linear.
- Se uma linha de
é a soma de dois vetores, a soma das permanentes com cada uma das linhas separadas coincide com a permanente original.
Passo 3
Outras propriedades clássicas do determinante que continuam válidas para o permanente são:
- Invariância frente à permutação de linhas (ou colunas): trocar duas linhas não altera
. - Invariância sob transposição:
- Multiplicatividade em blocos diagonais: se
então - Se uma linha (ou coluna) inteira de
é zero, então -
, tal como .
Passo 4
Para saber quando
observe que, pelos sinais das permutações,
Logo
Para que isso seja zero, cada termo correspondente a uma permutação ímpar deve anular-se, i.e.
Isto significa que não existe forma de escolher um elemento não nulo em cada linha e coluna segundo uma permutação de sinal ímpar. Em particular, a única hipótese que garante isso de modo estável (sem depender de cancelamentos exóticos) é que em cada linha e em cada coluna haja no máximo um elemento não nulo: assim só há no máximo uma escolha de “permutação possível” e ela não pode ser de sinal ímpar, caso contrário esse único termo não pisaria zero mas daria
.
Portanto, sem recorrer diretamente a permutações, concluímos que:
Resposta
As matrizes
tais que
são exatamente aquelas em que cada linha e cada coluna têm no máximo um elemento não nulo (matrizes ditas monomiais), e cuja única escolha de um elemento por linha e coluna corresponde a um determinante não negativo. Em outras palavras,
é uma matriz de permutação (ou bloco diagonal de tais) multiplicada por escalares nas linhas, de modo que o determinante de
seja
.