Ex. 144 - O permanente de uma matriz é uma função semelhante ao determinante, com uma diferença: na fórmula de Leibniz, retiramos a multiplicação por sgn( sigma ). Que propriedades de determinante o permanente também tem? E para que matrizes reais o permanente é igual ao determinante? (Tente caracterizar as matrizes sem usar permutações.)

Passo 1

O enunciado define o permanente de uma matriz como
isto é, a fórmula de Leibniz para o determinante sem o fator . Pede-se (a) listar quais propriedades do determinante também valem para o permanente e (b) caracterizar, sem recorrer a permutações, as matrizes reais que satisfazem

Passo 2

Um traço fundamental do determinante é a multilinearidade em cada linha (ou coluna): se numa linha substituímos por combinação linear, o determinante responde linearmente. O permanente herda exatamente essa mesma propriedade, pois a soma que define perm(A) é bilinear em cada linha (idem para colunas). Em particular:
  1. Se uma linha (ou coluna) é múltiplo escalar de outra, podemos isolar esse escalar e a expressão do permanente fica linear.
  2. Se uma linha de A é a soma de dois vetores, a soma das permanentes com cada uma das linhas separadas coincide com a permanente original.

Passo 3

Outras propriedades clássicas do determinante que continuam válidas para o permanente são:
  1. Invariância frente à permutação de linhas (ou colunas): trocar duas linhas não altera perm(A).
  2. Invariância sob transposição: perm(A^T)=perm(A)
  3. Multiplicatividade em blocos diagonais: se A=B&00&C, então perm(A)=perm(B),perm(C)
  4. Se uma linha (ou coluna) inteira de A é zero, então perm(A)=0
  5. perm(In)=1, tal como det(In)=1.

Passo 4

Para saber quando
observe que, pelos sinais das permutações,
Logo
Para que isso seja zero, cada termo correspondente a uma permutação ímpar deve anular-se, i.e.
í
Isto significa que não existe forma de escolher um elemento não nulo em cada linha e coluna segundo uma permutação de sinal ímpar. Em particular, a única hipótese que garante isso de modo estável (sem depender de cancelamentos exóticos) é que em cada linha e em cada coluna haja no máximo um elemento não nulo: assim só há no máximo uma escolha de “permutação possível” e ela não pode ser de sinal ímpar, caso contrário esse único termo não pisaria zero mas daria .
Portanto, sem recorrer diretamente a permutações, concluímos que:

Resposta

As matrizes A tais que
perm(A)=det(A)
são exatamente aquelas em que cada linha e cada coluna têm no máximo um elemento não nulo (matrizes ditas monomiais), e cuja única escolha de um elemento por linha e coluna corresponde a um determinante não negativo. Em outras palavras, A é uma matriz de permutação (ou bloco diagonal de tais) multiplicada por escalares nas linhas, de modo que o determinante de A seja >=0.

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