Revise a notação que usamos para matrizes elementares e calcule os determinantes das matrizes a seguir. Diga também de que ordem, no mínimo, devem ser as matrizes para que as expressões façam sentido. A, B, C são matrizes, e k é escalar.
Considere a operação de reversão de colunas em matrizes quadradas: a matriz (
) tem suas colunas listadas na ordem reversa,
. Diga qual é o efeito desta operação no determinante de uma matriz, e apresente uma demonstração.
Considere a operação de reversão de colunas em matrizes quadradas: a matriz (
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- calcular os determinantes de certas expressões em termos de matrizes elementares (A, B, C e escalar k) e indicar a ordem mínima para que façam sentido;
- analisar o efeito da operação de reversão de colunas em uma matriz quadrada no seu determinante, dando uma demonstração.
Passo 2
Para a parte 1 não há como prosseguir porque as matrizes específicas (ou suas dimensões mínimas) não foram fornecidas no enunciado. Sem saber exatamente quais são as expressões matriciais, não podemos calcular nenhum determinante nem dizer qual a ordem mínima exigida.
Passo 3
Para a parte 2, lembramos que trocar duas colunas de uma matriz quadrada multiplica o determinante por
. A reversão completa das colunas de uma matriz de ordem
é uma permutação que inverte a ordem
em
.
Passo 4
Cada par
com
forma uma “inversão” nessa permutação, e o número total de inversões é
Como cada inversão corresponde à troca de duas colunas (e cada troca dá fator
no determinante), o efeito global é
Resposta
Para as expressões elementares não há dados suficientes para calcular seus determinantes nem para fixar a ordem mínima.
Ao inverter todas as colunas de uma matriz quadrada de ordem
, o determinante é multiplicado por