• Ex. 145 - O permanente de uma matriz sempre será igual ao determinante quando as entradas pertencerem a um certo corpo. Qual?

Passo 1

O enunciado pergunta em qual corpo o permanente de qualquer matriz coincide sempre com o determinante. Isso envolve entender a diferença entre essas duas funções em termos de sinais e ver em que situação esse sinal deixa de fazer diferença.

Passo 2

Relembrando as definições para uma matriz A=(aij) de ordem n:
perm(A)=sumsigmain Snprodi=1^n ai,sigma(i),
det(A)=sumsigmain Snsgn(sigma),prodi=1^n ai,sigma(i),
onde sgn(sigma)in+1,-1 é o sinal da permutação sigma. A única diferença é esse fator sgn(sigma).

Passo 3

Num corpo de característica 2 vale
-1 = +1,
porque 1+1=0 implica 1=-1. Logo para toda permutação sigma temos
sgn(sigma)=pm1, mas nesse corpo pm1=1.

Passo 4

Como sgn(sigma) fica igual a 1 para toda sigma, as somas que definem permanente e determinante coincidem termo a termo. Portanto
perm(A)=det(A)
em qualquer corpo de característica 2.

Resposta

O permanente coincide com o determinante em corpos de característica 2, por exemplo F2.

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