- Ex. 145 - O permanente de uma matriz sempre será igual ao determinante quando as entradas pertencerem a um certo corpo. Qual?
Passo 1
O enunciado pergunta em qual corpo o permanente de qualquer matriz coincide sempre com o determinante. Isso envolve entender a diferença entre essas duas funções em termos de sinais e ver em que situação esse sinal deixa de fazer diferença.
Passo 2
Relembrando as definições para uma matriz
de ordem
:
onde
é o sinal da permutação
. A única diferença é esse fator
.
Passo 3
Num corpo de característica
vale
porque
implica
. Logo para toda permutação
temos
, mas nesse corpo
.
Passo 4
Como
fica igual a
para toda
, as somas que definem permanente e determinante coincidem termo a termo. Portanto
em qualquer corpo de característica
.
Resposta
O permanente coincide com o determinante em corpos de característica
, por exemplo
.