Ex. 142 - Seja A uma matriz 3 times 3 com coeficientes em Q. Mostre que se d é um inteiro positivo tal que d|a11 a12 a13, d| a21 a22 a23, d mid a31 a32 a33, então d mid det(A).

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dada uma matriz A=(aij) de ordem 3 com coeficientes em Q e um inteiro positivo d tal que
d mid a11a12a13, d mid a21a22a23, d mid a31a32a33,
então dmid det(A).

Passo 2

Vamos exibir um contraexemplo que satisfaz as hipóteses mas faz falhar a conclusão. Tome
A = I3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
e escolha, por exemplo, d=2. Para cada linha de A o produto dos três coeficientes é
1cdot 0cdot 0 = 0, 0cdot 1cdot 0 = 0, 0cdot 0cdot 1 = 0,
e de fato 2mid 0. Ou seja, as três condições
;2mid ai1ai2ai3;(i=1,2,3)
são satisfeitas. Mas
det(A)=det(I3)=1,
e claramente 2notmid 1.

Resposta

O enunciado é falso: a matriz identidade I3 e d=2 satisfazem as hipóteses mas não a conclusão ,2middet(I3).

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