Ex. 142 - Seja A uma matriz
com coeficientes em
. Mostre que se d é um inteiro positivo tal que
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dada uma matriz
de ordem
com coeficientes em
e um inteiro positivo
tal que
então
.
Passo 2
Vamos exibir um contraexemplo que satisfaz as hipóteses mas faz falhar a conclusão. Tome
e escolha, por exemplo,
d=2 . Para cada linha de
A o produto dos três coeficientes é
e de fato
2mid 0 . Ou seja, as três condições
;2mid ai1ai2ai3;(i=1,2,3)
são satisfeitas. Mas
são satisfeitas. Mas
e claramente
2notmid 1 .
Resposta
O enunciado é falso: a matriz identidade
I3 e
d=2 satisfazem as hipóteses mas não a conclusão
,2middet(I3) .