Ex. 147 - Considere o conjunto das matrizes diagonais de ordem n. Defina a operação otimes como
A otimes B=det(A B) I
O conjunto das matrizes diagonais de ordem n com as operações de soma de matrizes e otimes é um corpo? Se não for, há como impor restrições adicionais sobre as matrizes para que obtenhamos um corpo?

Passo 1

O enunciado define Dn como o conjunto de todas as matrizes diagonais de ordem n, com a soma usual de matrizes e a “multiplicação”
Aotimes B = det(A,B), I,
onde I é a matriz identidade de ordem n.
Queremos verificar se l(Dn,+,otimesr) é um corpo, ou seja, se satisfaz os axiomas de corpo:
(Dn,+) é grupo abeliano.
– Existe elemento neutro e inversos para otimes em Dnsetminus0.
otimes é associativa, comutativa e distributiva em relação a +.

Passo 2

Fecho, associatividade, comutatividade e distributividade
  1. Se A e B são diagonais, AB é diagonal e det(A B)=det(A)det(B), logo
Aotimes B=det(A)det(B), I = Botimes A,
o que dá comutatividade.
2. Associatividade de otimes vem de
(Aotimes B)otimes C =det(det(A)det(B), I,C), I =l(det(A)det(B)det(C)r) I =Aotimes (Botimes C)
  1. Distributividade sobre a soma é trivial pois Aotimes(B+C)=det!l(A(B+C)r) I=det(A B+A C) I e, em geral, det(A B+A C)neq det(AB)+det(AC). Logo não há distributividade, a menos que caia em casos muito especiais.

Passo 3

Não existe elemento neutro para otimes
Suponha que exista Ein Dn tal que, para todo Ain Dn,
Aotimes E =det(A, E), I =A
Mas det(A, E)=det(A)det( E), então
det(A)det( E), I = A
Isto exigiria que cada A fosse proporcional a I, o que não ocorre para toda matriz diagonal. Logo não há neutro multiplicativo em Dn.

Passo 4

Sem elemento neutro e sem a distributividade usual, a estrutura falha em pelo menos dois axiomas cruciais de corpo. Concluímos que, para n>1, l(Dn,+,otimesr) não é um corpo.

Passo 5

Buscando um subcaso que seja corpo, note que se n=1 então D1 é o conjunto das matrizes 1times1, ou seja, dos escalares do corpo de entrada, e
aotimes b = det([a][b]) = ab,
que coincide com o produto usual de escalares. Nesse caso temos exatamente o corpo original. Para n>1, não há outra restrição não–trivial que recupere todos os axiomas de corpo.

Resposta

O conjunto das matrizes diagonais de ordem n com a soma usual e a operação otimes não é um corpo para n>1. A única maneira de obter um corpo é o caso trivial n=1, em que D1 é isomorfo ao corpo dos escalares.

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