Ex. 147 - Considere o conjunto das matrizes diagonais de ordem n. Defina a operação
como
O conjunto das matrizes diagonais de ordem
com as operações de soma de matrizes e
é um corpo? Se não for, há como impor restrições adicionais sobre as matrizes para que obtenhamos um corpo?
Passo 1
O enunciado define
como o conjunto de todas as matrizes diagonais de ordem
, com a soma usual de matrizes e a “multiplicação”
onde
é a matriz identidade de ordem
.
Queremos verificar se é um corpo, ou seja, se satisfaz os axiomas de corpo:
– é grupo abeliano.
– Existe elemento neutro e inversos para em
.
– é associativa, comutativa e distributiva em relação a
.
Queremos verificar se
–
– Existe elemento neutro e inversos para
–
Passo 2
Fecho, associatividade, comutatividade e distributividade
- Se
e são diagonais, é diagonal e , logo
o que dá comutatividade.
2. Associatividade de vem de
2. Associatividade de
- Distributividade sobre a soma é trivial pois
e, em geral, . Logo não há distributividade, a menos que caia em casos muito especiais.
Passo 3
Não existe elemento neutro para
Suponha que exista tal que, para todo
,
Suponha que exista
Mas
, então
Isto exigiria que cada
fosse proporcional a
, o que não ocorre para toda matriz diagonal. Logo não há neutro multiplicativo em
.
Passo 4
Sem elemento neutro e sem a distributividade usual, a estrutura falha em pelo menos dois axiomas cruciais de corpo. Concluímos que, para
,
não é um corpo.
Passo 5
Buscando um subcaso que seja corpo, note que se
então
é o conjunto das matrizes
, ou seja, dos escalares do corpo de entrada, e
que coincide com o produto usual de escalares. Nesse caso temos exatamente o corpo original. Para
, não há outra restrição não–trivial que recupere todos os axiomas de corpo.
Resposta
O conjunto das matrizes diagonais de ordem
com a soma usual e a operação
não é um corpo para
. A única maneira de obter um corpo é o caso trivial
, em que
é isomorfo ao corpo dos escalares.