Ex. 146 - Quais matrizes anti-simétricas são singulares?

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais matrizes antissimétricas (ou seja, matrizes A tais que A^T = -A) são singulares (i.e.\ têm determinante zero). O conteúdo principal aqui é a propriedade do determinante em relação à transposição e à multiplicação por escalar, e a definição de matriz singular.

Passo 2

Lembramos que, para qualquer matriz quadrada A de ordem n, vale
detl(A^Tr) ;=;det(A)
Como A é antissimétrica, temos A^T = -A. Logo,
det(A^T) ;=;det(-A)

Passo 3

Quando multiplicamos uma matriz A de ordem n por -1, o determinante fica
det(-A) ;=;(-1)^n,det(A)
Portanto, usando A^T=-A, obtemos
det(A) ;=;det(A^T) ;=;det(-A) ;=;(-1)^n,det(A)

Passo 4

Da igualdade det(A)=(-1)^ndet(A) segue
l[1 - (-1)^nr],det(A) = 0
Se n for ímpar, então (-1)^n = -1 e 1 - (-1)^n = 2 neq 0, logo det(A)=0. Isso significa que TODAS as matrizes antissimétricas de ordem ímpar são singulares.

Passo 5

Se n for par, então (-1)^n = +1 e 1 - (-1)^n = 0, de modo que a equação não impõe det(A)=0. Em ordem par existe tanto matrizes antissimétricas invertíveis (com determinante não nulo) quanto singulares (quando sua pfaffiana, que ao quadrado dá o determinante, é zero).

Resposta

Todas as matrizes antissimétricas de ordem ímpar são singulares.

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