Ex. 146 - Quais matrizes anti-simétricas são singulares?
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais matrizes antissimétricas (ou seja, matrizes
tais que
) são singulares (i.e.\ têm determinante zero). O conteúdo principal aqui é a propriedade do determinante em relação à transposição e à multiplicação por escalar, e a definição de matriz singular.
Passo 2
Lembramos que, para qualquer matriz quadrada
de ordem
, vale
Como
é antissimétrica, temos
. Logo,
Passo 3
Quando multiplicamos uma matriz
de ordem
por
, o determinante fica
Portanto, usando
, obtemos
Passo 4
Da igualdade
segue
Se
for ímpar, então
e
, logo
. Isso significa que TODAS as matrizes antissimétricas de ordem ímpar são singulares.
Passo 5
Se
for par, então
e
, de modo que a equação não impõe
. Em ordem par existe tanto matrizes antissimétricas invertíveis (com determinante não nulo) quanto singulares (quando sua pfaffiana, que ao quadrado dá o determinante, é zero).
Resposta
Todas as matrizes antissimétricas de ordem ímpar são singulares.