20.36 Determine as raízes racionais de 4 x^3+15 x-36=0 e daí resolva a equação completamente.

Passo 1

Enunciado: Determinar as raízes racionais de
4x^3+15x-36=0
e, a partir daí, resolver a equação completamente. O conteúdo envolve o teorema das raízes racionais e fatoração de polinômios de grau 3.

Passo 2

Pela teoria das raízes racionais, todo candidato a raiz racional de um polinômio com coeficientes inteiros é da forma
pmtfracdc
onde d divide o termo constante ( -36) e c divide o coeficiente líder ( 4).

Passo 3

Listando as possibilidades principais, temos
pm1, pm2, pm3, pm4, pm6, pm9, pm12, pm18, pm36,
além de frações como
pmtfrac12, pmtfrac32, pmtfrac94,dots .

Passo 4

Testando x=tfrac32:
pl(tfrac32r)=4l(tfrac32r)^3+15l(tfrac32r)-36=4cdottfrac278+tfrac452-36=tfrac272+tfrac452-36=36-36=0
Logo, x=tfrac32 é uma raiz.

Passo 5

Fatorando por divisão ou uso de fator comum:
4x^3+15x-36=(2x-3)(2x^2+3x+12)

Passo 6

Para resolver o restante, aplicamos a fórmula de Bhaskara em 2x^2+3x+12=0:
x=-3pmraiz3^2-4cdot2cdot122cdot2=-3pmraiz9-964=-3pm iraiz874

Resposta

As únicas raízes racionais são x=tfrac32. As soluções completas da equação são x=tfrac32, x=tfrac-3+iraiz874 e x=tfrac-3-iraiz874.

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