20.6 Prove que
é um fator de
, para
um inteiro positivo arbitrário.
SOLUÇÃO
; então
. Como
é um fator de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro positivo n, o polinômio xⁿ–aⁿ é divisível por x–a. Vamos usar o conteúdo de Teorema do Fator de um polinômio.
Passo 2
O Teorema do Fator diz que, se P(x) é um polinômio e P(c)=0, então existe outro polinômio Q(x) tal que P(x)=(x–c)Q(x). Ou seja, x–c é um fator de P(x).
Passo 3
Definimos P(x)=xⁿ–aⁿ e avaliamos em x=a:
Como P(a)=0, pelo Teorema do Fator concluímos que x–a divide P(x).
Resposta
x–a é fator de xⁿ–aⁿ.