20.6 Prove que x-a é um fator de x^n-a^n, para n um inteiro positivo arbitrário.

SOLUÇÃO

P(x)=x^n-a^n; então P(a)=a^n-a^n=0. Como P(a)=0, x-a é um fator de x^n-a^n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro positivo n, o polinômio xⁿ–aⁿ é divisível por x–a. Vamos usar o conteúdo de Teorema do Fator de um polinômio.

Passo 2

O Teorema do Fator diz que, se P(x) é um polinômio e P(c)=0, então existe outro polinômio Q(x) tal que P(x)=(x–c)Q(x). Ou seja, x–c é um fator de P(x).

Passo 3

Definimos P(x)=xⁿ–aⁿ e avaliamos em x=a:
P(a)=aⁿaⁿ=0
Como P(a)=0, pelo Teorema do Fator concluímos que x–a divide P(x).

Resposta

x–a é fator de xⁿ–aⁿ.

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