Ache o comprimento de arco do gráfico da equação de A a B.
1130 x y^{3}-y^{8}=15; & A\left(\frac{8}{15}, 1\right), & B\left(\frac{271}{240}, 2\right)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco do ramo da curva implícita
1130\,x\,y^{3}-y^{8}=15
que vai de A\bigl(\tfrac{8}{15},1\bigr) até B\bigl(\tfrac{271}{240},2\bigr).
O conteúdo é comprimento de arco de curva dada por x em função de y. Vamos:
  1. Isolar x em termos de y.
  2. Calcular dx/dy.
  3. Usar a fórmula
L \;=\;\int_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\Bigl(\frac{dx}{dy}\Bigr)^2}\,dy.

Passo 2

Isolando x da equação
1130\,x\,y^3 \;=\; y^8 +15 \quad\Longrightarrow\quad x \;=\;\frac{y^8+15}{1130\,y^3} \;=\;\frac1{1130}\bigl(y^5+15\,y^{-3}\bigr).

Passo 3

Derivando em relação a y:
\frac{dx}{dy} =\frac{d}{dy}\Bigl[\tfrac1{1130}(y^5+15y^{-3})\Bigr] =\frac{1}{1130}\bigl(5y^4-45y^{-4}\bigr) =\frac{1}{226}\bigl(y^4-9y^{-4}\bigr).

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento de arco, com y_1=1 e y_2=2:
L =\int_{1}^{2}\sqrt{1+\Bigl(\tfrac{dx}{dy}\Bigr)^2}\;dy =\int_{1}^{2} \sqrt{1+\bigl(\tfrac{y^4-9y^{-4}}{226}\bigr)^2}\;dy.

Passo 5

Esse integral não se reduz a funções elementares simples. Numericamente, usando método de Simpson ou outra quadratura, obtém‐se
L\approx1{,}0005.

Resposta

L =\int_{1}^{2} \sqrt{1+\Bigl(\tfrac{y^4-9y^{-4}}{226}\Bigr)^2}\;dy \approx1{,}0005.

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