Ache o comprimento de arco do gráfico da equação de A a B.
12 x=\frac{y^{4}}{16}+\frac{1}{2 y^{2}}; & A\left(\frac{9}{8},-2\right), & B\left(\frac{9}{16},-1\right)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco do trecho da curva
12\,x=\frac{y^4}{16}+\frac1{2\,y^2}
entre os pontos A\bigl(\tfrac98,-2\bigr) e B\bigl(\tfrac9{16},-1\bigr).
O conteúdo envolvido é o cálculo de comprimento de arco para uma curva x=x(y). Vamos precisar isolar x em função de y, calcular \tfrac{dx}{dy} e usar a fórmula
L=\int_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\Bigl(\frac{dx}{dy}\Bigr)^2}\;dy,
com y_1=-2 e y_2=-1.

Passo 2

Isolando x em função de y, dividimos a equação por 12:
x = \frac{y^4}{16\cdot12} + \frac{1}{2\,y^2\cdot12} = \frac{y^4}{192} + \frac{1}{24\,y^2}.
Agora derivamos:
\frac{dx}{dy} = \frac{4\,y^3}{192} \;-\;\frac{2}{24\,y^3} = \frac{y^3}{48} \;-\;\frac{1}{12\,y^3} = \frac{y^6-4}{48\,y^3}.

Passo 3

Aplicamos a fórmula do comprimento de arco, com y variando de -2 até -1:
L =\int_{-2}^{-1} \sqrt{1+\Bigl(\frac{y^3}{48}-\frac{1}{12\,y^3}\Bigr)^2}\;dy.

Passo 4

Esse integral não se resolve em termos de funções elementares conhecidas, então fazemos uma aproximação numérica (por exemplo, Regra de Simpson). O valor aproximado é
L\approx1{,}003.

Resposta

O comprimento de arco entre A e B é dado pela integral
L=\int_{-2}^{-1} \sqrt{1+\Bigl(\frac{y^3}{48}-\frac{1}{12\,y^3}\Bigr)^2}\,dy
e numéricamente
L\approx1{,}003.

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