16 Ache o comprimento do arco do gráfico de y=\frac{3 x^{8}+5}{30 x^{3}} de \left(1, \frac{4}{5}\right) a \left(2, \frac{773}{240}\right).

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva definida por
y = \frac{3x^8 + 5}{30x^3}
no intervalo de x=1 a x=2.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula do comprimento de arco para uma função y=f(x):
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(f'(x)\bigr)^2}\,dx.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever y de forma mais simples:
y = \frac{3x^8}{30x^3} + \frac{5}{30x^3} = \frac{1}{10}\,x^5 + \frac{1}{6}\,x^{-3}.

Passo 3

Agora derivamos:
y' = \frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{10}x^5 + \tfrac{1}{6}x^{-3}\Bigr) = \frac{1}{10}\cdot 5x^4 + \frac{1}{6}\cdot(-3)x^{-4} = \frac{1}{2}\,x^4 - \frac{1}{2}\,x^{-4} = \frac{x^4 - x^{-4}}{2}.

Passo 4

Montamos o integrando da fórmula de comprimento:
\sqrt{1 + (y')^2} = \sqrt{1 + \Bigl(\frac{x^4 - x^{-4}}{2}\Bigr)^2} = \sqrt{\frac{4 + x^8 - 2 + x^{-8}}{4}} = \sqrt{\frac{x^8 + 2 + x^{-8}}{4}} = \frac{x^4 + x^{-4}}{2},
pois (x^4 + x^{-4})^2 = x^8 + 2 + x^{-8}.
Logo,
L = \int_{1}^{2} \frac{x^4 + x^{-4}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\bigl(x^4 + x^{-4}\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculamos a primitiva:
\int\bigl(x^4 + x^{-4}\bigr)\,dx = \frac{x^5}{5} - \frac{1}{3x^3}.
Então
L = \frac{1}{2}\left[\frac{x^5}{5} - \frac{1}{3x^3}\right]_{1}^{2} = \frac{1}{2}\Bigl(\bigl(\tfrac{32}{5}-\tfrac{1}{24}\bigr)-\bigl(\tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{3}\bigr)\Bigr).
Calculando em partes:
\tfrac{32}{5}-\tfrac{1}{24} = \frac{768-5}{120} = \frac{763}{120}, \quad \tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{3} = -\tfrac{2}{15} = -\tfrac{16}{120},
logo a diferença é
\frac{763}{120} - \bigl(-\tfrac{16}{120}\bigr) = \frac{779}{120},
e multiplicando por \tfrac12 vem
L = \frac{779}{240}.

Resposta

\frac{779}{240}

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