15 Ache o comprimento do arco do gráfico de
. (Sugestāo: Use a simetria em relação à reta
.)
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva
que é a “astroida” de parâmetro
. Para achar esse comprimento, vamos usar a fórmula de comprimento de arco de uma função
,
e explorar a simetria em relação à reta
e aos eixos.
Passo 2
Na primeira região
, isolamos
Derivando,
Então
Passo 3
Primeiro achamos o arco de
até o ponto
onde a curva cruza
. Em
vale
então
Passo 4
Pela simetria em relação a
, o arco de
até
vale o dobro de
, isto é
Finalmente, pela simetria em relação aos eixos, a curva completa tem quatro arcos iguais, logo