15 Ache o comprimento do arco do gráfico de x^{2 / 3}+y^{2 / 3}=1. (Sugestāo: Use a simetria em relação à reta y=x.)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva
x^{2/3}+y^{2/3}=1,
que é a “astroida” de parâmetro a=1. Para achar esse comprimento, vamos usar a fórmula de comprimento de arco de uma função y=f(x),
L=\int \sqrt{1+(y')^2}\,dx,
e explorar a simetria em relação à reta y=x e aos eixos.

Passo 2

Na primeira região x\ge0,\;y\ge0, isolamos
y=(1-x^{2/3})^{3/2}.
Derivando,
y'=\frac{d}{dx}(1-x^{2/3})^{3/2} =\frac{3}{2}(1-x^{2/3})^{1/2}\cdot\Bigl(-\tfrac{2}{3}x^{-1/3}\Bigr) =-x^{-1/3}(1-x^{2/3})^{1/2}.
Então
\sqrt{1+(y')^2} =\sqrt{1+\frac{1-x^{2/3}}{x^{2/3}}} =\frac{1}{x^{1/3}}.

Passo 3

Primeiro achamos o arco de (1,0) até o ponto P onde a curva cruza y=x. Em y=x vale
2x^{2/3}=1\quad\Longrightarrow\quad x=2^{-3/2},
então
L_{(1,0)\to P} =\int_{2^{-3/2}}^{1}\frac{1}{x^{1/3}}\,dx =\Bigl[\tfrac{3}{2}x^{2/3}\Bigr]_{2^{-3/2}}^{1} =\tfrac{3}{2}\bigl(1-2^{-1}\bigr) =\tfrac{3}{4}.

Passo 4

Pela simetria em relação a y=x, o arco de (1,0) até (0,1) vale o dobro de L_{(1,0)\to P}, isto é
L_{(1,0)\to(0,1)}=2\cdot\tfrac{3}{4}=\tfrac{3}{2}.
Finalmente, pela simetria em relação aos eixos, a curva completa tem quatro arcos iguais, logo
L_{\text{total}}=4\cdot\tfrac{3}{2}=6.

Resposta

6

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