Estabeleça uma integral para achar o comprimento do arco do gráfico da equação de A e B.
132 y^{3}-7 y+2 x=8 ; & A(3,2), & B(4,0)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva implícita
132y^{3}-7y+2x=8
entre os pontos A(3,2) e B(4,0).
O conteúdo usado é a fórmula de comprimento de arco de uma função x=x(y) parametrizada por y.

Passo 2

Isolamos x em função de y. Da equação
132y^{3}-7y+2x=8
vem
2x = 8 -132y^{3}+7y
portanto
x(y)=\frac{8 -132y^{3}+7y}{2}.

Passo 3

Calculamos a derivada x'(y):
x'(y) =\frac{d}{dy}\Bigl(\tfrac{8 -132y^{3}+7y}{2}\Bigr) =\frac{-396y^{2}+7}{2}.

Passo 4

A fórmula de comprimento de arco para x=x(y) de y=y_a até y=y_b é
L = \int_{y_a}^{y_b} \sqrt{1+\bigl[x'(y)\bigr]^{2}}\;dy.
Aqui, A tem y_A=2 e B tem y_B=0. Tomamos os limites de 0 a 2.

Passo 5

Substituindo x'(y) e os limites, obtemos
L =\int_{0}^{2}\sqrt{1+\Bigl(\frac{-396y^{2}+7}{2}\Bigr)^{2}}\;dy.

Resposta

L = \int_{0}^{2} \sqrt{1 + \Bigl(\frac{-396y^{2}+7}{2}\Bigr)^{2}}\;dy.

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