Ache os inversos dos seguintes números complexos, na forma normal
(d) (1+i)^3

Passo 1

A questão pede o inverso do número complexo (1+i)^3. O conteúdo envolve potenciação de números complexos e a definição de inverso de um complexo. Para resolver, vamos: 1) calcular (1+i)^3, 2) identificar a forma a+bi desse resultado, e 3) aplicar a fórmula do inverso de um número complexo a+bi, que é a-bia^2+b^2.

Passo 2

Vamos elevar (1+i) ao cubo. Primeiro escrevemos:
(1+i)^3 = (1+i)^2 cdot (1+i)
Em seguida calculamos (1+i)^2:
(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i
Logo:
(1+i)^3 = 2i cdot (1+i) = 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i

Passo 3

Agora que temos o número na forma a+bi com a=-2 e b=2, vamos usar a definição do inverso:
(a + bi)^-1 = a - bia^2 + b^2
Aplicando para a=-2 e b=2:
(-2 + 2i)^-1 = -2 - 2i(-2)^2 + 2^2 = -2 - 2i4 + 4 = -2 - 2i8 = -14 - 14i

Resposta

-\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{4}i

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