Ache o menor inteiro positivo que deixa restos 9,8,7, ldots, 1 quando dividido respectivamente por 10,9,8, ldots, 2.

Passo 1

O enunciado pede o menor inteiro positivo N tal que
quando dividido por 10,9,8,dots,2 deixa restos 9,8,7,dots,1, respectivamente. O conteúdo aqui é sistema de congruências e vamos usar a ideia de que se
Nequiv k-1pmod k então N+1 é múltiplo de k. Para resolver, precisaremos calcular o mínimo múltiplo comum (mmc) dos números de 2 a 10.

Passo 2

Cada condição Nequiv k-1pmod k pode ser reescrita como
N+1equiv0pmod k
para todo k=2,3,dots,10. Ou seja, N+1 deve ser múltiplo de cada k de 2 a 10.

Passo 3

Concluímos que
N+1= mcdotmmc(2,3,4,5,6,7,8,9,10)
para algum inteiro positivo m. Para achar o menor N, basta tomar m=1.

Passo 4

Agora calculamos o mmc dos números de 2 a 10. Podemos fatorar ou lembrar que
mmc(2,3,4,5,6,7,8,9,10)=2520

Passo 5

Substituindo m=1, temos N+1=2520, logo
N=2520-1=2519

Resposta

2519

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