Ache a solưção geral e a menor solução positiva de cada congruência abaixo:
x equiv 7 bmod 3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral e a menor solução positiva da congruência x ≡ 7 (mod 3). O conteúdo é congruência linear, e vamos precisar da definição de congruência modular e de como expressar sua solução geral.

Passo 2

A definição de congruência modular diz que x ≡ a (mod m) se, e somente se, m divide x–a. A partir disso, a forma geral das soluções é
x = a + mcdot k, k in Z

Passo 3

Aplicando ao nosso caso com a = 7 e m = 3, obtemos:
x = 7 + 3k, k in Z

Passo 4

Para achar a menor solução positiva deste conjunto, reduzimos 7 módulo 3. Como
7 = 2cdot3 + 1,
temos 7 ≡ 1 (mod 3). Logo todos os x da forma acima também satisfazem x ≡ 1 (mod 3). Podemos reescrever
x = 1 + 3k', k' in Z

Passo 5

O menor valor positivo ocorre quando k’ = 0, dando x = 1 como menor representante da classe.

Resposta

Solução geral: x = 7 + 3k, k in Z (equivalentemente x = 1 + 3k). Menor solução positiva: x = 1.

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