Ache a solưção geral e a menor solução positiva de cada congruência abaixo:
3 x+2 equiv 0 bmod 7

Passo 1

Temos a congruência linear 3x + 2 equiv 0 pmod7. Esse é um problema de congruência do tipo ax + b equiv 0 pmod m, em que precisamos isolar x e usar o inverso multiplicativo de a módulo m.

Passo 2

Subtraindo 2 de ambos os lados, fica 3x equiv -2 pmod7. Como -2 equiv 5 pmod7, obtemos
3x equiv 5 pmod7

Passo 3

Para resolver 3x equiv 5 pmod7, encontramos o inverso de 3 módulo 7. Buscamos t tal que 3t equiv 1 pmod7. Testando, vemos 3 cdot 5 = 15 equiv 1 pmod7, logo o inverso de 3 é 5.

Passo 4

Multiplicamos a congruência por 5:
5cdot 3x equiv 5cdot 5 pmod7
Como 5cdot3 equiv 1 pmod7, isso dá x equiv 25 pmod7. E como 25 equiv 4 pmod7, segue que x equiv 4 pmod7.

Passo 5

Da congruência x equiv 4 pmod7 tiramos a solução geral:
x = 4 + 7k, k in Z

Passo 6

Para achar a menor solução positiva, basta escolher o menor k que torne x positivo. Com k=0 obtemos x = 4.

Resposta

A solução geral é x = 4 + 7k, com k in Z, e a menor solução positiva é 4.

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