Admita que todas as variáveis sejam funções de t.
7 Se 3 x^{2} y+2 x=-32 e \frac{d y}{d t}=-4 quando x=2 e y=-3, determine \frac{d x}{d t}.

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita 3x^2y + 2x = -32, diz que todas as variáveis são funções de t e fornece \frac{dy}{dt}=-4 no ponto x=2, y=-3. Precisamos usar diferenciação implícita (regra do produto e cadeia) para encontrar \frac{dx}{dt}.

Passo 2

Derivando ambos os lados de
3x^2y + 2x = -32
em relação a t, temos:
– Para 3x^2y, produto de x^2 e y:
\frac{d}{dt}(3x^2y) =3\bigl(2x\frac{dx}{dt}\,y + x^2\frac{dy}{dt}\bigr).
– Para 2x:
\frac{d}{dt}(2x)=2\frac{dx}{dt}.
O lado direito é constante, logo 0. Somando:
3\bigl(2x\frac{dx}{dt}\,y + x^2\frac{dy}{dt}\bigr) +2\frac{dx}{dt}=0.

Passo 3

Agrupando \frac{dx}{dt}:
6xy\frac{dx}{dt}+2\frac{dx}{dt}+3x^2\frac{dy}{dt}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{dt}(6xy+2)=-3x^2\frac{dy}{dt}.
Isolando:
\frac{dx}{dt} =\frac{-3x^2\frac{dy}{dt}}{6xy+2}.

Passo 4

Substituindo x=2, y=-3, \frac{dy}{dt}=-4:
– Numerador: -3\cdot2^2\cdot(-4)=48.
– Denominador: 6\cdot2\cdot(-3)+2=-34.
Logo
\frac{dx}{dt}=\frac{48}{-34}=-\frac{24}{17}.

Resposta

\displaystyle \frac{dx}{dt}=-\frac{24}{17}

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