Admita que todas as variáveis sejam funções de t.
8 Se -x^{2} y^{2}-4 y=-44 \mathrm{e} \frac{d x}{d t}=5 quando x=-3 \mathrm{e} y=2, determine \frac{d y}{d t}.

Passo 1

O enunciado dá a relação
-\,x^{2}y^{2}-4y=-44
onde x e y são funções de t, e informa que \frac{dx}{dt}=5 quando x=-3 e y=2. Queremos encontrar \frac{dy}{dt} nesse instante usando diferenciação implícita.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a t, e aplicando a regra do produto e da cadeia, temos
\frac{d}{dt}\bigl(-x^{2}y^{2}\bigr)-\frac{d}{dt}(4y)=\frac{d}{dt}(-44).
Isso dá
-\bigl(2x\,\frac{dx}{dt}\,y^{2}+x^{2}\,2y\,\frac{dy}{dt}\bigr)-4\,\frac{dy}{dt}=0.

Passo 3

Reorganizando para isolar \frac{dy}{dt}:
-2x\,y^{2}\,\frac{dx}{dt}-\bigl(2x^{2}y+4\bigr)\frac{dy}{dt}=0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(2x^{2}y+4\bigr)\frac{dy}{dt}=-2x\,y^{2}\,\frac{dx}{dt}
\frac{dy}{dt} =\frac{-2x\,y^{2}\,\frac{dx}{dt}}{2x^{2}y+4} =\frac{-x\,y^{2}\,\frac{dx}{dt}}{x^{2}y+2}.

Passo 4

Substituindo x=-3, y=2 e \frac{dx}{dt}=5:
x^{2}y+2=9\cdot2+2=20, \qquad -\,x\,y^{2}\,\frac{dx}{dt}=-(-3)\cdot4\cdot5=60,
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\frac{dy}{dt}=\frac{60}{20}=3.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dt}=3

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