39 Um avião a uma altitude de 3.000 m voa em velocidade constante segundo uma reta que o levará a passar diretamente acima de um observador no sб̌lo. Se, em dado instante, o observador nota que o ângulo de elevação do avião é 60^{\circ} e está aumentando à razão de 1^{\circ} por segundo, determine a velocidade do avião.

Passo 1

O enunciado diz que o avião voa a uma altitude constante de 3000,m, numa trajetória retilínea que o levará a passar sobre o observador no solo. Em certo instante o ângulo de elevação é \theta=60^\circ e está aumentando a \tfrac{d\theta}{dt}=1^\circ/\text{s}. Queremos achar a velocidade horizontal do avião.

Passo 2

Seja x(t) a distância horizontal do avião ao observador e \theta(t) o ângulo de elevação. A relação trigonométrica é
\tan(\theta)=\frac{3000}{x}\,.

Passo 3

Diferenciando em relação a t e lembrando que \frac{d}{dt}\tan(\theta)=\operatorname{sec}^2(\theta)\,\frac{d\theta}{dt}, obtemos
\operatorname{sec}^2(\theta)\,\frac{d\theta}{dt} =\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{3000}{x}\Bigr) =-3000\,\frac{1}{x^2}\,\frac{dx}{dt}\,.

Passo 4

Isolando \frac{dx}{dt} temos
\frac{dx}{dt} =-\frac{x^2}{3000}\,\operatorname{sec}^2(\theta)\,\frac{d\theta}{dt}\,.
Mas de \tan(\theta)=3000/x segue x=3000\cot(\theta), logo
\frac{dx}{dt} =-3000\,\csc^2(\theta)\,\frac{d\theta}{dt}\,.
O sinal negativo indica que x diminui (o avião se aproxima).

Passo 5

No instante dado \theta=60^\circ e \tfrac{d\theta}{dt}=1^\circ/\text{s}=\tfrac{\pi}{180}\,\mathrm{rad/s}. Como \csc(60^\circ)=2/\sqrt{3},
\bigl|\tfrac{dx}{dt}\bigr| =3000\;\csc^2(60^\circ)\;\frac{\pi}{180} =3000\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{\pi}{180} =\frac{4000\pi}{180} =\frac{200\pi}{9}\,\mathrm{m/s} \approx69{,}8\,\mathrm{m/s}\,.

Resposta

A velocidade do avião é aproximadamente 69{,}8,m/s (cerca de 250 km/h).

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