39 Um avião a uma altitude de 3.000 m voa em velocidade constante segundo uma reta que o levará a passar diretamente acima de um observador no sб̌lo. Se, em dado instante, o observador nota que o ângulo de elevação do avião é 60^{\circ} e está aumentando à razão de 1^{\circ} por segundo, determine a velocidade do avião.
Passo 1
O enunciado diz que o avião voa a uma altitude constante de 3000,m, numa trajetória retilínea que o levará a passar sobre o observador no solo. Em certo instante o ângulo de elevação é \theta=60^\circ e está aumentando a \tfrac{d\theta}{dt}=1^\circ/\text{s}. Queremos achar a velocidade horizontal do avião.
Passo 2
Seja x(t) a distância horizontal do avião ao observador e \theta(t) o ângulo de elevação. A relação trigonométrica é
\tan(\theta)=\frac{3000}{x}\,.
Passo 3
Diferenciando em relação a t e lembrando que \frac{d}{dt}\tan(\theta)=\operatorname{sec}^2(\theta)\,\frac{d\theta}{dt}, obtemos