37 Uma taça de papel contendo água tem a forma de um tronco de cone circular, reto 15 cm de altura e 3 cm e 6 cm de raios das bases inferior e superior, respectivamente. Se a água vaza da taça à razão de 50 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{h}, qual a taxa.de redução do nível da água quando a profundidade da água na taxa é de 10 cm ? ( O volume V de um tronco de cone circular reto de altura h e bases a e b é \left.V=\frac{1}{3} \pi h\left(a^{2}+b^{2}+a b\right)\right).
Passo 1
O enunciado descreve uma taça em forma de tronco de cone reto de altura 15,cm, com raio da base inferior 3,cm e da base superior 6,cm. A água forma, a cada instante, um tronco de cone de mesma base inferior e de raio da superfície livre r, a uma altura h do fundo. Sabe-se que a vazão é \frac{dV}{dt}=-50,cm^{3}/h e pede-se a taxa \frac{dh}{dt} quando h=10,cm. Vamos usar semelhança de triângulos para achar r(h), a fórmula do volume de tronco de cone e então relacionar \frac{dV}{dt} e \frac{dh}{dt}.
Passo 2
Pela semelhança de triângulos, o raio r no nível de água varia linearmente de 3 (em h=0) até 6 (em h=15). Assim
r = 3 + \frac{6-3}{15}\,h = 3 + \frac{h}{5}.
Passo 3
O volume da água, como tronco de cone de altura h, raio inferior 3 e raio superior r, é
V = \frac{1}{3}\pi\,h\bigl(3^{2}+r^{2}+3r\bigr).
Substituindo r=3+\tfrac{h}{5}, dentro do parêntese: