37 Uma taça de papel contendo água tem a forma de um tronco de cone circular, reto 15 cm de altura e 3 cm e 6 cm de raios das bases inferior e superior, respectivamente. Se a água vaza da taça à razão de 50 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{h}, qual a taxa.de redução do nível da água quando a profundidade da água na taxa é de 10 cm ? ( O volume V de um tronco de cone circular reto de altura h e bases a e b é \left.V=\frac{1}{3} \pi h\left(a^{2}+b^{2}+a b\right)\right).

Passo 1

O enunciado descreve uma taça em forma de tronco de cone reto de altura 15,cm, com raio da base inferior 3,cm e da base superior 6,cm. A água forma, a cada instante, um tronco de cone de mesma base inferior e de raio da superfície livre r, a uma altura h do fundo. Sabe-se que a vazão é \frac{dV}{dt}=-50,c m^{3}/h e pede-se a taxa \frac{dh}{dt} quando h=10,cm. Vamos usar semelhança de triângulos para achar r(h), a fórmula do volume de tronco de cone e então relacionar \frac{dV}{dt} e \frac{dh}{dt}.

Passo 2

Pela semelhança de triângulos, o raio r no nível de água varia linearmente de 3 (em h=0) até 6 (em h=15). Assim
r = 3 + \frac{6-3}{15}\,h = 3 + \frac{h}{5}.

Passo 3

O volume da água, como tronco de cone de altura h, raio inferior 3 e raio superior r, é
V = \frac{1}{3}\pi\,h\bigl(3^{2}+r^{2}+3r\bigr).
Substituindo r=3+\tfrac{h}{5}, dentro do parêntese:
3^{2}+(3+\tfrac{h}{5})^{2}+3(3+\tfrac{h}{5}) =9+\bigl(9+\tfrac{6}{5}h+\tfrac{h^{2}}{25}\bigr)+\bigl(9+\tfrac{3}{5}h\bigr) =27+\tfrac{9}{5}h+\tfrac{1}{25}h^{2}.
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V(h)=\frac{\pi}{3}\Bigl(27h+\frac{9}{5}h^{2}+\frac{1}{25}h^{3}\Bigr).

Passo 4

Derivando em relação a h:
\frac{dV}{dh} =\frac{\pi}{3}\Bigl(27+\frac{18}{5}h+\frac{3}{25}h^{2}\Bigr).
Para h=10:
27+\frac{18}{5}\cdot10+\frac{3}{25}\cdot100 =27+36+12=75,
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\left.\frac{dV}{dh}\right|_{h=10} =\frac{\pi}{3}\cdot75=25\pi.

Passo 5

Usando a relação de taxas
\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\,\frac{dh}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dh}{dt} =\frac{\frac{dV}{dt}}{\frac{dV}{dh}} =\frac{-50}{25\pi} =-\frac{2}{\pi}\\ \text{cm/h}.

Resposta

A profundidade da água diminui à taxa de -\tfrac{2}{\pi} cm/h (aproximadamente -0,637 cm/h) quando h=10 cm.

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