13.11 Em uma bolsa encontram-se níqueis, dimes e quartos, totalizando US 1,85$. Há duas vezes mais dimes que quartos, e a quantidade de níqueis é o dobro menos 2 da quantidade de dimes. Determine a quantidade de moedas de cada valor.

SOLUÇÃO

Se quantidade de quartos, então quantidade de dimes, quantidade de níqueis quantidade de quartos + quantidade de dimes + quantidade de níqueis centavos centavos centavos centavos centavos, donde
Assim, há quartos, dimes, e níqueis.
Prova: 3 quartos centavos, 6 dimes centavos, 10 níqueis centavos, e sua soma US 1,85$

Passo 1

O problema é assim: numa bolsa tem níqueis (5 centavos), dimes (10 centavos) e quarters (25 centavos) que somam US $1,85 (ou seja, 185 centavos). O desafio é usar as dicas das quantidades (duas vezes mais dimes que quarters, e níqueis = “o dobro menos 2” de dimes) para montar um sistema de equações e achar quantas moedas de cada tipo existem.

Passo 2

Vamos definir variáveis. Seja x o número de quarters. Como há duas vezes mais dimes que quarters, o número de dimes é 2x. E a quantidade de níqueis, que é o dobro menos 2 da de dimes, fica 2cdot(2x)-2 = 4x - 2.

Passo 3

Agora montamos a equação do valor total em centavos. Cada quarter vale 25 centavos, cada dime vale 10 centavos e cada níquel vale 5 centavos. Como o total é 185 centavos, temos:
25x + 10(2x) + 5(4x - 2) = 185

Passo 4

Vamos resolver essa equação. Primeiro expandimos os termos:
25x + 20x + 20x - 10 = 185
Agrupando termos semelhantes:
65x - 10 = 185
Isolando x:
65x = 195
x = 3

Passo 5

Com x = 3 concluímos que o número de dimes é 2x = 6 e o de níqueis é 4x - 2 = 10. Uma checagem rápida dá: 3 quarters = 75 centavos, 6 dimes = 60 centavos e 10 níqueis = 50 centavos, totalizando 185 centavos, certinho.

Resposta

3 quartos, 6 dimes e 10 níqueis

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