Para cada conjunto de matrizes quadradas abaixo, determine se elas sempre tem inversa, nunca tem inversa, ou se podem ou não ter inversa.
c) Todas as matrizes obtidas de matrizes diagonais usando apenas permutações de linhas.

Passo 1

O enunciado pede para classificar o conjunto de todas as matrizes quadradas obtidas a partir de matrizes diagonais usando apenas permutações de linhas. O conteúdo envolvido é a invertibilidade de matrizes e o uso de determinantes.

Passo 2

Seja ,D=diag(d1,d2,dots,dn) uma matriz diagonal arbitrária e seja P uma matriz de permutação (isto é, obtida trocando linhas de In). A matriz em questão pode ser escrita como
A = P,D

Passo 3

Para verificar se A é invertível, usamos a propriedade do determinante
det(A)=det(P),det(D)
Sabemos que det(P)=pm1 e que
det(D)=prodi=1^ndi

Passo 4

Logo,
  • se algum dos di for zero, então det(D)=0 e assim det(A)=0, tornando A singular (sem inversa);
  • se todos os dineq0, então det(D)neq0 e det(A)neq0, logo A é invertível.

Passo 5

Concluímos que, dependendo dos valores dos elementos da diagonal original, A pode ser invertível ou não.

Resposta

Podem ou não ter inversa.

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