Para cada conjunto de matrizes quadradas abaixo, determine se elas sempre tem inversa, nunca tem inversa, ou se podem ou não ter inversa.
c) Todas as matrizes obtidas de matrizes diagonais usando apenas permutações de linhas.
c) Todas as matrizes obtidas de matrizes diagonais usando apenas permutações de linhas.
Passo 1
O enunciado pede para classificar o conjunto de todas as matrizes quadradas obtidas a partir de matrizes diagonais usando apenas permutações de linhas. O conteúdo envolvido é a invertibilidade de matrizes e o uso de determinantes.
Passo 2
Seja
uma matriz diagonal arbitrária e seja
uma matriz de permutação (isto é, obtida trocando linhas de
). A matriz em questão pode ser escrita como
Passo 3
Para verificar se
é invertível, usamos a propriedade do determinante
Sabemos que
e que
Passo 4
Logo,
- se algum dos
for zero, então e assim , tornando singular (sem inversa); - se todos os
, então e , logo é invertível.
Passo 5
Concluímos que, dependendo dos valores dos elementos da diagonal original,
pode ser invertível ou não.
Resposta
Podem ou não ter inversa.