Em cada parte, determine se o sistema homogêneo tem uma solução não-trivial (sem usar papel e lápis); depois decida se a matriz dada é invertível.
2 x1+x2-3 x3+x4=0 x2-3 x3+x4=0
5 x2+4 x3+3 x4=0
x3+2 x4=0
3 x4=0 [rrrr2 & 1 & -3 & 1 0 & 5 & 4 & 3 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 3]

Passo 1

Temos um sistema homogêneo de 4 equações e 4 incógnitas cuja matriz de coeficientes é
A = 2 & 1 & -3 & 1 0 & 5 & 4 & 3 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 3
Queremos saber se existe solução não-trivial para A x=0 e, em seguida, se A é invertível. Para isso, usamos o fato de que um sistema homogêneo tem solução não-trivial exatamente quando det(A)=0, e que A é invertível exatamente quando det(A)neq0.

Passo 2

Como A é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Logo,
det(A) = 2 times 5 times 1 times 3 = 30

Passo 3

Visto que det(A)=30neq0, temos rm rank(A)=4 (igual ao número de incógnitas). Portanto o sistema homogêneo A x=0 admite apenas a solução trivial x=(0,0,0,0).

Passo 4

Como det(A)neq0, concluímos que A é invertível.

Resposta

O sistema homogêneo não tem solução não-trivial (só a trivial) e a matriz A é invertível (pois det(A)=30neq0).

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