Considere as matrizes
A=[rrr 2 & 1 & 2 2 & 2 & -2 3 & 1 & 1 ] e x=[l x1 x2 x3 ]
(a) Mostre que a equação A x=x pode ser reescrita como (A-I) x=0 e use este resultado para resolver A x=x em x.
(b) Resolva A x=4 x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver dois problemas de autovalores de A:
(a) Ax=x, isto é, encontrar os vetores próprios associados ao autovalor 1.
(b) Ax=4x, ou seja, achar os vetores próprios para o autovalor 4.
Vamos usar o fato padrão de que
Ax=lambdax Long<=ftrightarrow (A-lambda I)x=0,
e então resolver o sistema homogêneo correspondente em cada caso.

Passo 2

Para (a) tomamos lambda=1 e reescrevemos
Ax=x Long<=ftrightarrow (A - I)x = 0

Passo 3

Calculamos a matriz A - I:
A - I = 2 & 1 & 2 2 & 2 & -2 3 & 1 & 1 - 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = 1 & 1 & 2 2 & 1 & -2 3 & 1 & 0
Então o sistema (A - I)x=0 é
x1 + x2 + 2x3 = 0, 2x1 + x2 - 2x3 = 0, 3x1 + x2 + 0cdot x3 = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema de cima: da terceira equação vem
3x1 + x2 = 0 Longrightarrow x2 = -3x1
Substituindo na primeira:
x1 + (-3x1) + 2x3 = 0 Longrightarrow -2x1 + 2x3 = 0 Longrightarrow x3 = x1
Na segunda equação surge
2x1 + (-3x1) -2x3 = -x1 -2x1 = -3x1=0 Longrightarrow x1=0
Logo x1=x2=x3=0, ou seja, só existe a solução trivial x=0.

Passo 5

Para (b) tomamos lambda=4. Analogamente:
Ax=4x Long<=ftrightarrow (A - 4I)x = 0

Passo 6

A matriz A - 4I é
A - 4I = 2 & 1 & 2 2 & 2 & -2 3 & 1 & 1 - 4 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 4 = -2 & 1 & 2 2 & -2 & -2 3 & 1 & -3
O sistema (A - 4I)x=0 fica
-2x1 + x2 + 2x3 = 0, 2x1 -2x2 -2x3 = 0, 3x1 + x2 -3x3 = 0

Passo 7

Da primeira equação isolamos
Substituindo na segunda:
Então . A terceira equação já se satisfaz com isso.
Logo os vetores próprios para são

Resposta

(a) A única solução de Ax=x é x=0.
(b) Os vetores próprios de A associados a lambda=4 são todos os múltiplos de l(1,0,1r)^T.

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