Em cada parte, determine se o sistema homogêneo tem uma solução não-trivial (sem usar papel e lápis); depois decida se a matriz dada é invertível.
5 x1+x2+4 x3+x4=0 2 x3-x4=0 x3+x4=0 [rrrr5 & 1 & 4 & 1 0 & 0 & 2 & -1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 7]

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema homogêneo de quatro equações em quatro incógnitas
5x1+x2+4x3+x4=0, 2x3-x4=0, x3+x4=0, 0x1+0x2+0x3+7x4=0,
e a matriz
A= 5 & 1 & 4 & 1 0 & 0 & 2 & -1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 7
Vamos usar resolução por substituição regressiva para decidir se existe solução não-trivial e, em seguida, checar o determinante de A para saber se ela é invertível.

Passo 2

Da quarta equação obtemos
7x4=0Longrightarrow x4=0
Substituindo em x3+x4=0
x3+0=0Longrightarrow x3=0
A segunda equação 2x3-x4=0 torna-se 0-0=0, que é automática. Na primeira equação fica
5x1+x2+4cdot0+0=0 Longrightarrow x2=-5x1

Passo 3

Temos uma incógnita livre x1. Escolhendo x1neq0 gera solução não-trivial
(x1,x2,x3,x4)=(t,-5t,0,0), tneq0
Logo o sistema homogêneo tem solução não-trivial.

Passo 4

A é triangular superior, de modo que
det(A)=5cdot0cdot1cdot7=0
Como det(A)=0, a matriz não é invertível.

Resposta

O sistema homogêneo tem solução não-trivial e a matriz dada não é invertível.

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