Em cada parte, encontre os valores máximo e mínimo da forma quadrática sujeita ao vínculo
e determine os valores de
e
nos quais ocorrem os máximos e mínimos.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o valor máximo e mínimo da forma quadrática
sujeita à restrição
Este é um problema clássico de extremos de forma quadrática em esfera unitária, que pode ser resolvido por multiplicadores de Lagrange ou identificando os autovalores de sua matriz simétrica.
Passo 2
Usamos multiplicadores de Lagrange. Definimos
e impomos as condições de otimalidade:
Passo 3
As duas primeiras equações podem ser escritas em forma matricial
Para existir solução não-trivial, o determinante deve ser zero:
Passo 4
Expandindo e simplificando o determinante chegamos à equação característica
cuja solução é
Estes valores de
são exatamente os extremos de
sobre a restrição.
Passo 5
Para
, da primeira equação obtemos
Usando
e
segue
Passo 6
Para
, similarmente
e pela normalização
resulta
Passo 7
Concluímos que o valor máximo de
sobre a circunferência unitária é
ocorre nos pontos
e o valor mínimo é
e o valor mínimo é
ocorre nos pontos
.