Em cada parte, encontre os valores máximo e mínimo da forma quadrática sujeita ao vínculo x1^2+x2^2=1 e determine os valores de x1 e x2nos quais ocorrem os máximos e mínimos.
(d) 2 x1^2+x2^2+3 x1 x2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor máximo e mínimo da forma quadrática
f(x1,x2)=2x1^2+x2^2+3x1x2
sujeita à restrição
x1^2+x2^2=1
Este é um problema clássico de extremos de forma quadrática em esfera unitária, que pode ser resolvido por multiplicadores de Lagrange ou identificando os autovalores de sua matriz simétrica.

Passo 2

Usamos multiplicadores de Lagrange. Definimos
L(x1,x2,lambda)=2x1^2+x2^2+3x1x2-lambdal(x1^2+x2^2-1r)
e impomos as condições de otimalidade:
partial Lpartial x1=4x1+3x2-2lambda x1=0,
partial Lpartial x2=2x2+3x1-2lambda x2=0,
partial Lpartial lambda=-(x1^2+x2^2-1)=0

Passo 3

As duas primeiras equações podem ser escritas em forma matricial
Para existir solução não-trivial, o determinante deve ser zero:

Passo 4

Expandindo e simplificando o determinante chegamos à equação característica
lambda^2-3lambda-tfrac14=0,
cuja solução é
lambda=3pmraiz102
Estes valores de lambda são exatamente os extremos de f sobre a restrição.

Passo 5

Para lambdamax=3+raiz102, da primeira equação obtemos
(4-2lambdamax)x1+3x2=0 Longrightarrow x2=2lambdamax-43,x1 =raiz10-13,x1
Usando x1^2+x2^2=1 e
1+x2^2/x1^2 =1+(raiz10-1)^29 =20-2raiz109,
segue
x1=pm3raiz20-2raiz10, x2=pmraiz10-1raiz20-2raiz10

Passo 6

Para lambdamin=3-raiz102, similarmente
x2=2lambdamin-43,x1 =-raiz10+13,x1,
e pela normalização
1+(raiz10+1)^29 =20+2raiz109,
resulta
x1=pm3raiz20+2raiz10, x2=mpraiz10+1raiz20+2raiz10

Passo 7

Concluímos que o valor máximo de f sobre a circunferência unitária é
fmax=3+raiz102
ocorre nos pontos
l(x1,x2r)=l(pm3raiz20-2raiz10,,pmraiz10-1raiz20-2raiz10r)
e o valor mínimo é
fmin=3-raiz102
ocorre nos pontos
l(x1,x2r)=l(pm3raiz20+2raiz10,,mpraiz10+1raiz20+2raiz10r).

Resposta

fmax=3+raiz102 em
l(x1,x2r)=l(pmtfrac3raiz20-2raiz10,,pmtfracraiz10-1raiz20-2raiz10r).
fmin=3-raiz102 em
l(x1,x2r)=l(pmtfrac3raiz20+2raiz10,,mptfracraiz10+1raiz20+2raiz10r).

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