Calcular a altura, relativa ao vértice A , do triângulo de vértices A(1,1), B(-1,-3) e C(2,-7).

Passo 1

Temos o triângulo de vértices A(1,1), B(-1,-3) e C(2,-7) e queremos a altura relativa ao vértice A, isto é, a distância de A à reta que passa por B e C. Vamos usar a fórmula
hA = 2De<alvert BCrvert,
onde De<a é a área do triângulo e lvert BCrvert o comprimento do lado BC. A área pode ser obtida pelo módulo do produto vetorial em 2D.

Passo 2

Definimos os vetores
v = AB = B - A = (-1-1,,-3-1)=(-2,-4),
w = AC = C - A = (2-1,,-7-1)=(1,-8)
O produto vetorial 2D tem módulo
lvert vtimes wrvert = l|(-2)cdot(-8) - (-4)cdot1r| = |16 + 4| = 20
Logo, a área do triângulo é
De<a = tfrac12,lvert vtimes wrvert = tfrac12cdot 20 = 10

Passo 3

O comprimento do lado BC é
lvert BCrvert = raiz(2 - (-1))^2 + (-7 - (-3))^2 = raiz3^2 + (-4)^2 = 5

Passo 4

Aplicando a fórmula da altura:
hA = 2De<alvert BCrvert = 2cdot 105 = 4

Resposta

A altura relativa ao vértice A vale 4.

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