Calcule a área do paralelogramo determinado pelos pontos (1,4),(-1,5),(3,9) e (5,8). Como se pode saber se o quadrilátero determinado pelos pontos é realmente um paralelogramo?
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos os pontos A=(1,4), B=(-1,5), C=(3,9) e D=(5,8). O conteúdo é geometria analítica no plano, usando vetores para verificar propriedades de paralelogramo e calcular área via determinante (produto vetorial em 2D).
Passo 2
Para saber se o quadrilátero ABCD é de fato um paralelogramo, basta verificar que os lados opostos são paralelos e de mesmo comprimento. Em termos de vetores, isso equivale a checar que
ou alternativamente mostrar que os pontos médios das diagonais AC e BD coincidem.
Passo 3
Calculemos os vetores partindo de A:
\overrightarrow{AB}=B-A=(-1-1,\;5-4)=(-2,\,1),
\overrightarrow{AD}=D-A=(5-1,\;8-4)=(4,\,4).
Em seguida note-se que \overrightarrow{BC}=C-B=(3-(-1),\,9-5)=(4,\,4)=\overrightarrow{AD}
e \overrightarrow{DC}=C-D=(3-5,\,9-8)=(-2,\,1)=\overrightarrow{AB},
confirmando que AB\parallel DC e AD\parallel BC, logo ABCD é paralelogramo.
Passo 4
A área do paralelogramo é o módulo do determinante dos vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AD}:
A área do paralelogramo vale 12. Para verificar que o quadrilátero é paralelogramo, basta observar que \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} e \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}
ou, de forma equivalente, que os pontos médios das diagonais coincidem.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - David C. Lay - Álgebra Linear e suas Aplicações - 5ª Edição - Capítulo 3.Exercícios Suplementares - Ex. 11