Marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta. Suponha que todas as matrizes aqui sejam quadradas.
Todo sistema de n equações lineares e n incógnitas pode ser resolvido pela regra de Cramer.
Passo 1
O enunciado pergunta se “todo sistema de n equações lineares e n incógnitas pode ser resolvido pela regra de Cramer”. O conteúdo envolvido é a teoria de determinantes e o critério de existência de solução única de um sistema linear quadrado.
Passo 2
A regra de Cramer afirma que, para um sistema A x = b com A matriz n\times n, as incógnitas são dadas por
x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)},
onde A_i é obtida trocando a i-ésima coluna de A pelo vetor b. Essa fórmula só faz sentido se \det(A)\neq 0. Quando \det(A)=0, o sistema ou não tem solução ou tem infinitas soluções, e a regra de Cramer não se aplica.
Passo 3
Considere o sistema
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 2 & 2\end{pmatrix},\quad b = \begin{pmatrix}1 \\\\ 3\end{pmatrix}.
Aqui \det(A)=1\cdot2-1\cdot2=0, logo não podemos usar Cramer (divisão por zero). De fato, esse sistema é impossível (não há solução), e a regra de Cramer falha.
Passo 4
Como existem sistemas quadrados com \det(A)=0 em que a regra de Cramer não se aplica, a afirmação de que “todo” sistema n\times n pode ser resolvido por essa regra é falsa.
Resposta
Falsa.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - David C. Lay - Álgebra Linear e suas Aplicações - 5ª Edição - Capítulo 3.Exercícios Suplementares - Ex. 1.l