Calcule o determinante de
cccc 1 & 2 & -3 & 3 -1 & 2 & 1 & 1 3 & 2 & -1 & 0 1 & 1 & 2 & 7

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = 1 & 2 & -3 & 3 [6pt] -1 & 2 & 1 & 1 [6pt] 3 & 2 & -1 & 0 [6pt] 1 & 1 & 2 & 7
O conteúdo aqui é cálculo de determinante de matriz 4times4. Vamos usar operações de linha para criar zeros e depois aplicar a expansão de Laplace.]

Passo 2

Aplicamos operações de linha que não alteram o valor do determinante:
R2 R2 + R1, R3 R3 - 3,R1, R4 R4 - R1
Isso leva a
1 & 2 & -3 & 3 [4pt] 0 & 4 & -2 & 4 [4pt] 0 & -4 & 8 & -9 [4pt] 0 & -1 & 5 & 4 ]

Passo 3

Agora, pela primeira coluna, temos apenas um elemento não-nulo na primeira linha. Pela expansão de Laplace:
det(A) = 1 times D,
onde D é o determinante do menor 3times3 obtido eliminando a primeira linha e a primeira coluna.

Passo 4

O menor 3times3 é
M = 4 & -2 & 4 [4pt] -4 & 8 & -9 [4pt] -1 & 5 & 4
Usando a fórmula
det(M) =4l(8cdot4 -(-9)cdot5r) -(-2)l((-4)cdot4 -(-9)cdot(-1)r) +4l((-4)cdot5 - 8cdot(-1)r),
calculamos cada termo:
4(32 + 45) -(-2)(-16 - 9) +4(-20 + 8) =308 - 50 - 48 = 210
Portanto det(A)=1cdot210=210.]

Resposta

210

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