Sejam
e
inteiros. Mostre que existem
e
inteiros tais que
, se e somente se
e
são relativamente primos (i.e.,
1)
Passo 1
O enunciado quer que a gente prove que, dados inteiros
e
, existem inteiros
e
tais que
se, e somente se,
. Aqui vamos usar definição de determinante em matrizes
, propriedade de divisores em combinação linear e o Lema de Bézout (ou identidade de Bézout).
Passo 2
Direção “
”: suponha que existam inteiros
tais que
Seja
um divisor comum de
e
. Então
e
implica
e
. Logo
o que só é possível se
. Portanto o maior divisor comum de
e
vale
.
Passo 3
Direção “
”: suponha agora que
. Pelo Lema de Bézout, existem inteiros
e
tais que
Passo 4
Bast a escolhermos
Então a matriz
tem determinante
tem determinante
Isso mostra que, sempre que
, podemos encontrar
com determinante igual a
.
Resposta
Fica provado que existem inteiros
e
com
se, e somente se, .
se, e somente se,