Sejam a e b inteiros. Mostre que existem c e d inteiros tais que det([lla & c b & d])=1, se e somente se a e b são relativamente primos (i.e., mdc(a, b)= 1)

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove que, dados inteiros e , existem inteiros e tais que
se, e somente se, . Aqui vamos usar definição de determinante em matrizes , propriedade de divisores em combinação linear e o Lema de Bézout (ou identidade de Bézout).

Passo 2

Direção “ ”: suponha que existam inteiros tais que
Seja um divisor comum de e . Então e implica e . Logo
o que só é possível se . Portanto o maior divisor comum de e vale .

Passo 3

Direção “ Leftarrow”: suponha agora que gcd(a,b)=1. Pelo Lema de Bézout, existem inteiros x e y tais que
ax + by = 1

Passo 4

Bast a escolhermos
Então a matriz

tem determinante
Isso mostra que, sempre que , podemos encontrar com determinante igual a .

Resposta

Fica provado que existem inteiros e com

se, e somente se, .

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