Sejam
. Defina
pela expressão:
Isso define o produto exterior em
R^3 ,
[l a b c ] wed>=[l d e f ]=[c u v w ]
Mostre que
[cu v w] é ortogonal aos outros dois vetores. Calcule o seu módulo em função do módulo dos outros dois vetores e do ângulo entre eles.
Passo 1
O enunciado define, para
o vetor
pela condição
Este é justamente o produto vetorial em
. Vamos mostrar que
é ortogonal a
e a
e determinar
em função de
,
e do ângulo
entre eles.
Passo 2
Expandindo a definição por cofactores na terceira coluna, obtemos
Em forma explícita,
Passo 3
Para mostrar a ortogonalidade, calculamos o produto escalar de
com
e com
.
1.
1.
Mas nesta matriz as colunas 1 e 3 coincidem, logo o determinante é zero. Assim
Portanto
é ortogonal a
e a
.
Passo 4
O quadrado do módulo do produto vetorial satisfaz a identidade de Gram:
Como
pcdot q=|p||q|costheta , segue
logo
Resposta
O vetor
pwed>= q=(u,v,w) é ortogonal a
p e a
q , e
onde
theta é o ângulo entre
p e
q .