Sejam a, b, c, d, e, f in R. Defina u, v, w pela expressão:
det([lll a & d & x b & e & y c & f & z ])=u x+v y+w z
Isso define o produto exterior em R^3,
[l a b c ] wed>=[l d e f ]=[c u v w ]
Mostre que [cu v w] é ortogonal aos outros dois vetores. Calcule o seu módulo em função do módulo dos outros dois vetores e do ângulo entre eles.

Passo 1

O enunciado define, para
o vetor
pela condição
Este é justamente o produto vetorial em . Vamos mostrar que é ortogonal a e a e determinar em função de , e do ângulo entre eles.

Passo 2

Expandindo a definição por cofactores na terceira coluna, obtemos
Em forma explícita,

Passo 3

Para mostrar a ortogonalidade, calculamos o produto escalar de com e com .
1.
Mas nesta matriz as colunas 1 e 3 coincidem, logo o determinante é zero. Assim
Portanto é ortogonal a e a .

Passo 4

O quadrado do módulo do produto vetorial satisfaz a identidade de Gram:
|pwed>= q|^2 =detpcdot p & pcdot q qcdot p & qcdot q =|p|^2,|q|^2-(pcdot q)^2
Como pcdot q=|p||q|costheta, segue
|pwed>= q|^2 =|p|^2|q|^2l(1-cos^2thetar) =|p|^2|q|^2sin^2theta,
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|pwed>= q| =|p|,|q|,|sintheta|

Resposta

O vetor pwed>= q=(u,v,w) é ortogonal a p e a q, e
|pwed>= q|=|p|,|q|l|sinthetar|,
onde theta é o ângulo entre p e q.

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