Calcule o determinante de [ccccc1 & 0 & 0 & ldots & 0 2 & 2 & 0 & ldots & 0 vdots & vdots & ddots & & 0 n & n & n & ldots & n]

Passo 1

O enunciado dá uma matriz
Estamos no tópico de determinantes e vamos usar a propriedade de matrizes triangulares para calcular (\det(A)].

Passo 2

Note que A é uma matriz triangular inferior porque, sempre que j>i, temos aij=0. Logo todos os elementos acima da diagonal principal são nulos.
Uma propriedade fundamental é que, para qualquer matriz triangular (inferior ou superior), o determinante vale o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 3

Aqui, os elementos da diagonal são
a11=1, a22=2, a33=3,;dots,;ann=n
Aplicando a propriedade do passo anterior,
det(A)=prodi=1^naii =prodi=1^ni =n!

Resposta

det(A)=n!

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