Sejam
uma matriz de posto
uma matriz de posto s. Prove que a matriz
abaixo tem posto
:
O símbolo 0 na primeira linha significa a matriz nula
, na segunda linha,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
tem posto
e $B\in M(n\times n)$ tem posto
, então o bloco diagonal\
[ A 0 ; 0 B ] \em\ m\times(m+n)\ e $(m+n)\times(m+n)$ tem posto $r+s$. O conteúdo principal é a definição de posto como dimensão da imagem de um operador linear. Vamos usar esse conceito para resolver.
[ A 0 ; 0 B ] \em\ m\times(m+n)\ e $(m+n)\times(m+n)$ tem posto $r+s$. O conteúdo principal é a definição de posto como dimensão da imagem de um operador linear. Vamos usar esse conceito para resolver.
Passo 2
Vamos ver a matriz\
[ A 0 ; 0 B ] \como um operador linear\\
M:\mathbb{K}{m+n}\to\mathbb{K}{m+n},\
onde escrevemos um vetor\\
x=(x_1,x_2),\com\x_1\in\mathbb{K}^m\ e\ x_2\in\mathbb{K}^n.\
O efeito de M é\
\
[ A 0 ; 0 B ] \como um operador linear\\
M:\mathbb{K}{m+n}\to\mathbb{K}{m+n},\
onde escrevemos um vetor\\
x=(x_1,x_2),\com\x_1\in\mathbb{K}^m\ e\ x_2\in\mathbb{K}^n.\
O efeito de M é\
\
Passo 3
Note que a imagem de M é dada por todos os vetores\\
(A x_1, B x_2)\
com\ x_1\varia em\mathbb{K}^m\ e\ x_2\ em\mathbb{K}^n. Ou seja,\
\
(A x_1, B x_2)\
com\ x_1\varia em\mathbb{K}^m\ e\ x_2\ em\mathbb{K}^n. Ou seja,\
\
Aqui usamos que não há interseção não-trivial entre\\
Im(A)\\times\{0}\ e\ {0}\\times\Im(B),\
logo é soma direta.
Im(A)\\times\{0}\ e\ {0}\\times\Im(B),\
logo é soma direta.
Passo 4
Pelo teorema de dimensão em soma direta, temos\
\
\
Mas\ dim(Im(M))\ é exatamente o posto da matriz M. Portanto concluímos que o posto do bloco diagonal é\\
r+s.
r+s.
Passo 5
Essa linha de raciocínio mostra de modo direto que o posto de\
[ A 0 ; 0 B ]\
é a soma dos postos de A e B. A conclusão é geral e vale para qualquer corpo\\
\mathbb{K}.
[ A 0 ; 0 B ]\
é a soma dos postos de A e B. A conclusão é geral e vale para qualquer corpo\\
\mathbb{K}.
Resposta
r+s