Sejam a in M(m times m) uma matriz de posto r e b in M(n times n) uma matriz de posto s. Prove que a matriz (m+n) times(m+n) abaixo tem posto r+s :
[ll a & 0 0 & b ]
O símbolo 0 na primeira linha significa a matriz nula m times n e, na segunda linha, 0 in M(n times m).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se tem posto e $B\in M(n\times n)$ tem posto , então o bloco diagonal\
[ A 0 ; 0 B ] \em\ m\times(m+n)\ e $(m+n)\times(m+n)$ tem posto $r+s$. O conteúdo principal é a definição de posto como dimensão da imagem de um operador linear. Vamos usar esse conceito para resolver.

Passo 2

Vamos ver a matriz\
[ A 0 ; 0 B ] \como um operador linear\\
M:\mathbb{K}{m+n}\to\mathbb{K}{m+n},\
onde escrevemos um vetor\\
x=(x_1,x_2),\com\x_1\in\mathbb{K}^m\ e\ x_2\in\mathbb{K}^n.\
O efeito de M é\
\
M(x1,x2)=(A x1, B x2)

Passo 3

Note que a imagem de M é dada por todos os vetores\\
(A x_1, B x_2)\
com\ x_1\varia em\mathbb{K}^m\ e\ x_2\ em\mathbb{K}^n. Ou seja,\
\
Im(M)=(u,v):uinIm(A),;vinIm(B)=Im(A)oplusIm(B)
Aqui usamos que não há interseção não-trivial entre\\
Im(A)\\times\{0}\ e\ {0}\\times\Im(B),\
logo é soma direta.

Passo 4

Pelo teorema de dimensão em soma direta, temos\
\
dimIm(M)=dimIm(A)+dimIm(B)=r+s
Mas\ dim(Im(M))\ é exatamente o posto da matriz M. Portanto concluímos que o posto do bloco diagonal é\\
r+s.

Passo 5

Essa linha de raciocínio mostra de modo direto que o posto de\
[ A 0 ; 0 B ]\
é a soma dos postos de A e B. A conclusão é geral e vale para qualquer corpo\\
\mathbb{K}.

Resposta

r+s

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