Seja E=F1 oplus F2. Dado o operador linear A: E E, defina transformações lineares A11: F1 F1, A21: F1 F2, A12: F2 F1 e A22: F2 F2 tais que, para todo v=v1+v2 in E, com v1 in F1 e v2 in F2, seja
A v=(A11+A21) v1+(A12+A22) v2
Diz-se então que
[ll A11 & A12 A21 & A22 ]
é a matriz do operador A relativamente à decomposição E=F1 oplus F2. Dado outro operador linear B: E E, determine a matriz de B A relativamente à mesma decomposição.

Passo 1

O enunciado fala de espaços vetoriais decomponíveis como E=F1oplus F2 e operadores lineares cujas matrizes são escritas em blocos. Vamos usar o fato de que a composição de operadores corresponde ao produto de suas matrizes em blocos.

Passo 2

Sejam as matrizes em blocos de e relativas à mesma decomposição:

Passo 3

Para achar BA, aplicamos primeiro A e depois B. Se v=v1+v2 com v1in F1, v2in F2, então
A v1=A11v1+A21v1, A v2=A12v2+A22v2
Em seguida
B(A v1)=B11A11v1+B12A21v1, B(A v2)=B11A12v2+B12A22v2
para a parte em F1, e de modo análogo nas componentes em F2.

Passo 4

Agrupando as componentes em F1 e F2, identificamos as quatro transformações do bloco BA. O bloco (BA)11 vem de F1to F1, (BA)12 de F2to F1, etc. Assim obtemos cada entrada como soma de produtos de blocos de B por blocos de A.

Resposta

A matriz de BA na decomposição E=F1oplus F2 é
BA= B11A11+B12A21&B11A12+B12A22 B21A11+B22A21&B21A12+B22A22

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