Seja
. Dado o operador linear
, defina transformações lineares
e
tais que, para todo
, seja
Diz-se então que
é a matriz do operador A relativamente à decomposição
. Dado outro operador linear
, determine a matriz de
relativamente à mesma decomposição.
Passo 1
O enunciado fala de espaços vetoriais decomponíveis como
e operadores lineares cujas matrizes são escritas em blocos. Vamos usar o fato de que a composição de operadores corresponde ao produto de suas matrizes em blocos.
Passo 2
Sejam as matrizes em blocos de
e
relativas à mesma decomposição:
Passo 3
Para achar
, aplicamos primeiro
e depois
. Se
com
, então
Em seguida
para a parte em
, e de modo análogo nas componentes em
.
Passo 4
Agrupando as componentes em
e
, identificamos as quatro transformações do bloco
. O bloco
vem de
,
de
, etc. Assim obtemos cada entrada como soma de produtos de blocos de
por blocos de
.
Resposta
A matriz de
na decomposição
é